第十四章 专题二 证明三角形全等的基本类型+阶段检测一 (14.1～14.2)-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

专题二证明三角形全等的基本类型（答案P7) 类型1)已知两边对应相等 类型3》已知一边及其对角对应相等 1.如图所示，C是AB的中点，AD=BE,CD= 3.如图所示，在四边形ABCD中，点E在AD CE.求证：△ACD≌△BCE. 上，∠BCE=∠ACD,∠BAC=∠D,BC= CE.求证：AC=CD. 类型4)已知两角对应相等 类型2)已知一边及其邻角对应相等 4.如图所示，等腰三角形EDF的三个顶点都在等 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD, 腰三角形ABC的边上，且∠A=∠B=50°， ∠1=∠2，DB=CD.求证：AB+BE=CD. ∠DEF=∠DFE=65°.求证：△BDF≌△AED. △八年级·上册·数学.RJ.河北专用 33 阶段检测一（14.1~14.2)（答案P8) 一、选择题 1.如图所示，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1= 40°，则∠2的度数为() A.40°B.50° C.60°D.759 A.AD+BC=AB B.∠CBO=∠BAO C.∠AOB=90° 第1题图 第2题图 D.OC=OD 2.运算能力如图所示，点O是线段AB的中点， 二、填空题 OD∥BC且OD=BC.若∠ADO=35°，则 6.如图所示，△ABC的三个顶点分别在正方形 ∠DOC的度数为() 网格的3个格点上.若在网格图中的格点上有 A.31° B.32° C.34° D.35° 一点D(不与点A,B,C重合)，使得△DBC与 3.如图所示是作△ABC的作图痕迹，则此作图 △ABC全等，则这样的三角形有 个 的已知条件是( A.已知两边及夹角 7.推理能力如图所示，OP平分∠MON,PE⊥ B.已知三边 OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB,则图 C.已知两角及夹边 中有 对全等三角形 D.已知两边及一边对角 4.(石家庄月考)在如图所示的两个全等三角形 中，BC与EC是对应边，∠B与∠E是对应 角，则以下结论错误的是() 8.如图所示，在△MPN中，H是高MQ和NR 的交点，且MQ=NQ,已知PQ=5,NQ=9, A.AB=DE B.AC=DC 则MH的长为 C.∠A=∠D D.∠ACB=∠CDE 5.如图所示，OA平分∠NOP,OB平分∠MOP, AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥ MN于点D,下列结论错误的是() 34 41431111w 三、解答题 11.(珠海期中)如图所示，在四边形ABCD中， 9.(北京丰台区期中)如图所示，点A,C,B,D在 ∠B=90°，E为BC的中点，AE平分 同一条直线上，BE∥DF,∠A=∠F,AB= ∠BAD,F为AD上一点，AF=AB. FD. (1)求证：△ABE≌△AFE (1)求证：AE=FC (2)若∠AED=90°，求证：BC⊥CD (2)若∠FCD=25°，∠A=110°，求∠EBD的 度数. 12.推理能力如图①所示，△ACB和△DCE均 为等腰三角形，点A,D,E在同一条直线上， 连接BE (1)若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°. ①求证：AD=BE 10.应用意识如图所示，有两个长度相同的滑 ②求∠AEB的度数. 梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 (2)如图②所示，若∠ACB=∠DCE=90°， 向的长度DF相等.两个滑梯的倾斜角 CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE, ∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ CF,BE之间的数量关系，并证明你的结论 △八年级·上册·数学.RJ·河北专用 358.解：(1)如图所示，DE即为所求， (2)如图所示，点F即为所求. (3)如图所示. 由(1)作图可知，DE∥BC,∴.∠DEF=∠EFC. ∠DEF=∠B,∠EFC=∠B,∴.EF∥AB, 9.解：(1)如图所示为所求作图形. (2)理由如下： 在△ABC和△EDF中， |∠A=∠DEF, AB=ED, ∠B=∠FDE, ∴.△ABC≌△EDF(ASA) ∴.AC=EF,∠ACB=∠DFE.∴.AC∥EF (3)由(2)，得△ABC≌△EDF,∴.DF=BC DF=5,∴.BC=5. .CF=1, ..BD=BC+DF-CF=5+5-1-9 .线段BD的长为9. 第5课时直角三角形全等的判定(HL) 1.C2.D3.∠C=∠D=909 4.证明：，BF=EC,.BF+FC=FC十EC, 即BC=EF, ,'∠A=∠D=90°，.△ABC和△DEF都是直角三角形 (BC=EF, 在Rt△ABC和Rt△DEF中， AB=DE, .∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 5.C6.D7.AD∥BC 8.证明：D是BC的中点，BD=CD. DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BED和△CFD都是直角 角形 (BD=CD, 在Rt△BED和Rt△CFD中， BE=CF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL). ∴.∠B=∠C. 9.A10.A11.512.12 13.解：当点P运动到AC的中点处时，如图①所示， △ABC≌△QPA. 理由如下：，AC=10cm,.AP= 2AC=5 cm. 又，'BC=5cm,.AP=BC (AB=QP, 在Rt△ABC和Rt△QPA中， BC=PA, ,∴.Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). P C(P) ② 当点P运动到与点C重合时，如图②所示， △ABC≌△PQA, (AB=PQ, 理由如下：在Rt△ABC和Rt△PQA中， AC=PA, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA(HL) 综上可知，当点P运动到AC中点处或与点C重合时， △ABC和△APQ全等. 14.解：(1)证明：，BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， (AB=CA, AD-CE, .Rt△ABD≌Rt△CAE(HL). ∠BAD=∠ACE. '∠EAC+∠ACE=90°，∴.∠BAD+∠EAC=90° ∴.∠BAC=180°-（∠BAD+∠EAC)=90°..AB⊥AC. (2)AB⊥AC. 证明：同(1)可证Rt△ABD≌Rt△CAE, .∠BAD=∠ECA. ∠EAC+∠ECA=90°，∴∠EAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°.∴.AB⊥AC. 专题二证明三角形全等的基本类型 1.证明：C是AB的中点，.AC=BC. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，AD=BE, CD-CE, ∴.△ACD≌△BCE(SSS). 2.证明：AB∥CD,.∠ABD=∠EDC 在△ABD和△EDC中， I∠ABD=∠EDC, BD=DC, ∠1=∠2， ∴.△ABD≌△EDC(ASA),.AB=DE. :DE十BE=BD=CD,∴AB+BE=CD. 3.证明：如图所示，设∠1~∠7. ,∠BCE=∠ACD, 6 .∠3+∠4=∠4+∠5， .∠3=∠5 在△ABC和△DEC中， (∠1=∠D, ∠3=∠5， BC=EC, 7 .∴.△ABC≌△DEC(AAS).,∴.AC=CD. 4.证明：△EDF为等腰三角形，∠DEF=∠DFE=65°， ∴.DF=DE,∠EDF=50°，∴.∠BDF=130°-∠ADE. 又.∠A=∠B=50°， ∴.∠AED=130°-∠ADE, .∠BDF=∠AED. 在△BDF和△AED中， |∠B=∠A, ∠BDF=∠AED, DF=DE, ∴.△BDF≌△AED(AAS). 阶段检测一(14.1~14.2) 1.B2.D3.C4.D5.B 6.37.38.4 9.解：(1)证明：BEDF,∴∠ABE=∠D, 在△ABE和△FDC中， I∠ABE=∠D, AB=FD, ∠A=∠F, ∴.△ABE≌△FDC(ASA),.AE=FC (2).△ABE≌△FDC,∴.∠E=∠FCD=25°， .∠EBD=∠E+∠A=25°+110°=135 10.解：∠ABC与∠DFE互余. 理由：在Rt△ABC和Rt△DEF中， BC=EF, AC-DF, '.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), .∠ABC=∠DEF. 又'∠DEF+∠DFE=90°， ∴.∠ABC+∠DFE=90°， 即两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余. 11.证明：(1)，AE平分∠BAD,.∠BAE=∠FAE. 在△ABE和△AFE中， (AB=AF, ∠BAE=∠FAE, AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE(SAS) (2)由(1)，知△ABE≌△AFE, ∴EB=EF,∠AEB=∠AEF,∠B=∠EFA=9O°， ∴∠EFD=90°. ,∠BEC=180°，∠AED=90°，∴.∠AEB+∠DEC=9 ∠AEF+∠DEF=90°，∴.∠DEC=∠DEF. ,E为BC的中点，EB=EC,∴EF=EC. 在△ECD和△EFD中， EC=EF, ∠DEC=∠DEF, ED-ED, '.△ECD≌△EFD(SAS), ∴.∠ECD=∠EFD=90°，∴.BC⊥CD 12.解：(1)①证明：：∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CEL 50°，∴.∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80° ,'∠ACB=∠ACD+∠DCB, ∠DCE=∠DCB+∠BCE, .∠ACD=∠BCE. :△ACB和△DCE都是等腰三角形， .'.AC=BC,DC=EC. 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, ∠ACD=∠BCE, DC=EC, ∴.△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE ②：△ACD≌△BCE,∴.∠ADC=∠BEC. 点A,D,E在同一条直线上，且∠CDE=50°， .∠ADC=180°-∠CDE=130°，.∠BEC=130° :∠BEC=∠CED+∠AEB,∠CED=5O°， .∠AEB=∠BEC-∠CED=8O. (2)AE=2CF+BE 证明：：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， '.∠CDE=∠CED=45°. .CF⊥DE,∴.∠CFD=90°， .∠CDF=∠DCF=∠FCE=∠FEC=45°， .DF=EF=CF. .'AD-BE,..AE-DE+AD-2CF+BE. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.C 2.解：(1)如图所示，DE即为所求。 (2)DE∥AC. 3.C4.C5.D 6.证明：AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°，∴.DC=DE. DC=DE, 在△DCF和△DEB中，{∠C=∠BED, CF=EB, ∴.△DCF≌△DEB(SAS),∴.BD=DF 7.解：(1)如图所示，作∠ADE=∠C,交AB于点E,DE即 为所求 (2)22 8.D9.B10.42 11.解：(1)：∠B=50°，∠C=60°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=70 :AD是△ABC的角平分线，∠BAD=2∠BAC=35, .∠ADC=∠B+∠BAD=50°+35°=85° (2)如图所示，过点D作DH⊥AC于 点H. :AD是△ABC的角平分线，DE⊥ AB,DH⊥AC, .'.DH=DE=8.