第十六章 整式的乘法 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

本章综合提升（答案P22》 1/II11I1 本章知识归纳· /1111/11/ 法则：底数一，指数 同底数幂的乘法 、字母表示：am·a= 幂的乘方 法则：底数一，指数 字母表示法：(a"r= 法则：把积的每一个因式分别， 积的乘方 再把所得的幂 字母表示：(ab= 幂的运算 同底数幂的除法 法则：底数一，指数 字母表示法：a"÷a= 0次幂 a= (a≠0) 单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别一，其余字母连同它的指数 作为积的因式 法则 单项式乘多项式：根据 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积 整式的乘法 多项式乘多项式：先用一个多项式的 乘另一个多项式的每一项，再把 整式的乘法 所得的积 平方差一 法则：两数和与这两数差的积，等于它们的 公式 字母表示：(a+b)a-b)=】 法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 再加上（或减 完全平方 去)它们的 字母表示：(a±b) 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别 后，作为商的因式；对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个 整式的除法 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别 单项式，再把所得的 思想方法归纳 L111E1111111 【例1】如图所示，将两个长方形用不同方 式拼成图①和图②两个图形 1.转化思想 (1)若图①中的阴影部分面积为a2-b2,则 通过对条件的转化、结论的转化，使问题化 图②中的阴影部分面积为 (用含字母a, 难为易，化生为熟，化未知为已知，最终解决问 b的代数式表示). 题，这个过程体现了转化的思想方法. (2)由(1)你可以得到的等式是 链接本章 在利用几何图形验证乘法公式知识中， (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： 转化思想主要是将“几何图形的面积”问题 ①若x2-y2=16,x一y=2,则x十 转化为“乘法公式”问题。 y 92 ②计算：67.752-32.252. 链接本章) 当不能确定完全平方公式的类型时往 往需要进行分类讨论. 【例2】已知多项式A=(m-3)2-(2-m)· (2+m)+2. (1)化简多项式A. (2)若x2一2m.x十4是一个完全平方式，求 A的值. 【变式训练1】如图所示，在边长为a的正方 形上截去边长为b的正方形， B b b+b+ ① (1)图①的阴影部分面积是 【变式训练2】若x2+2(m一3)x+16是完全 (2)图②是将图①中的阴影部分裁开， 平方式，则m的值等于() 重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公 A.3 B.-5 式： C.7 D.7或-1 (3)运用得到的公式，计算： 3.数形结合思想 1-1-1-1-0)- 数形结合是指“以形助数”或“以数解形”，即 通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问 2.分类讨论思想 题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题 在研究与解决数学问题时，如果问题不能以 途径的目的。 同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根 链接本章 据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一 在本章利用几何图形拼图的方式，运用 定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上， 面积的方法来验证乘法公式的过程中，体现 将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部 了数形结合思想. 分，然后进行讨论，再把这几类结论汇总，从而得 出问题的答案。 △八年级·上册·数学.RJ.河北专用 93 【例3】阅读材料并解答问题：我们已经知 通模拟 111I1/1/1/I/1/1II1/1/1I/1/1/0 道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来 表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种 1.(衡水桃城区二模)若2m×2m=2,则十 形式表示，例如：2a(a+b)=2a2+2ab就可以用 n=( ) 如图①所示的图形面积来表示. A.3 B.4 (1)请写出图②所表示的代数恒等式， C.5 D.6 (2)请画图，用平面几何图形的面积来表示 2.(唐山滦南期末)下列运算正确的是() 代数恒等式(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2. A.-x2·x3=x5 bb2 abab B.2x3十x3=2x6 ab ab c(-°=y ab h D.8x4y6÷2x2y=4x2y5 ② 3.(邯郸邯山区二模)将2024×2026变形正确 的是( A.20252-1 B.20252+1 C.20252+2×2025+1 D.20252-2X2025+1 【变式训练3】（邯郸丛台区一模）如图所示， 4.(河北模拟)若a,b是正整数，且满足3十3a十 将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所 示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两 3“=3×3×3,则下列a与b的关系正确的 块是边长都为ncm的小正方形，五块是长、宽分 是() 别是mcm、ncm的完全一样的小长方形， A.a=b B.a+1=3b 且m>n. C.a+1=b3 D.3a=b3 (1)用含m,n的代数式表示切痕总长L. 5.(张家口万全区一模)如图所示，在长方形ABCD (2)若每块小长方形的面积为30cm,四个正方 中，AB=10,BC=5,点M和点N分别在AB 形的面积和为180cm2,试求(m+n)2的值， 和BC边上，并且AM-CN=1,分别以BM 和BN为边向上、向右作正方形，两个正方形 m 的面积分别为S1和S2,且S1+S2=50,则图 in n 中阴影部分的面积为( A.15 B.17 C.19 D.21 6.（廊坊香河期末)已知am=3,a”=2,则 a2m+3n 94 7.(石家庄期中)已知一个长方形的长为a,宽为 11.（邯郸二模)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各 b,它的面积为6，周长为12，则a2+b2的值 若干张，卡片的边长如图①所示(a>1).某同 为 学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重 8.(石家庄裕华区期中)如果(x+m)与(x一4)的 叠无缝隙)，如图②和图③所示，其面积分别 乘积中不含x的一次项，则m的值为 为S1,S2 9.(石家庄新华区月考)计算： 甲 (1)(a2)2·a2+(-3a3)2-(2a2)3; 乙丙丙 ① ② 乙 乙 乙 乙 乙丙 ③ (1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2 ×2.52026X(-1)2025】 时，求S1十S2的值. (2)比较S1与S2的大小，并说明理由. 10.(石家庄辛集期末)如图所示，这是一道例题 的部分解答过程，其中A,B是两个关于x,y 的二项式 例题： 化简：y团)+2xB 通中考 1IIII/lIIIIII1I1/l1IIII1/I1IL 解：原式=2xy+y2+4x2-2xy 注意：元素按顺 12.(河北中考)下列运算正确的是() 序从左到右，逐 个去掉括号. A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下 C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a 列问题： 13.（河北中考)若a,b是正整数，且满足 (1)多项式A为 ,多项式B为 2a+2+…+24=2×2×…×2,则a与b 例题的计算结果为 8个2相加 8个2相乘 的关系正确的是( (2)计算：A·B十A2. A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 14.(河北中考改编)化简x3 的结 果是() A.z3y6 B.xy5 C文y9 D之 4 4 △八年级·上册·数学.RJ·河北专用 95null