第1章特殊平行四边形达标测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第1章特殊平行四边形达标测试-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的边长为（    ） A．10 B． C．14 D． 5．如图，的对角线，交于点，以下条件能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（   ） A． B．6 C． D．12 7．在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是矩形，、相交于，垂直平分，若，则（  ） A．3 B． C．4 D． 9．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在菱形中，两条对角线的长分别是，，则该图形的面积是 ． 12．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 13．如图，在矩形中，已知，点F在矩形内部，连接，，E为的中点，连接、、，则的最小值为 ． 14．如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，是秋千的静止状态，是踏板，是地面，点是推动两步后踏板的位置，弧是踏板移动的轨迹．已知尺 ，尺，人的身高尺．设绳索长尺，则可列方程为 ． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点E在线段上，， 点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为 ． 16．如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是 ．    三、解答题 17．如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 18．将—个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置于正方形木框中，在对角线上，求的度数． 19．如图，在菱形中，，分别是，的中点，连接，若，求菱形的周长． 20．如图，在正方形中，点，分别在边和上，． (1)求证：； (2)交于点，延长至点，使．求证：四边形是菱形． 21．小外同学在学习了菱形的知识后，思考：如何在平行线间作出一个菱形？他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，已知，射线平分，用尺规完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 ① 又 ② ∵ ③ ④ 又∵ 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 22．如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形达标测试-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A C A A B A A 1．B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴是菱形；不符合题意； B、∵，， ∴是菱形；不符合题意； C、∵，， ∴是矩形，不能判定是菱形；符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形；不符合题意； 故选C． 3．D 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理的运用是解题的关键．先根据矩形性质和折叠性质求出线段的长度，再根据勾股定理求出线段，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点是矩形的中心， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴， 在中，， ∴矩形的面积为， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 添加垂直辅助线，通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理得解． 【详解】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∵， ∴，则， ∴是矩形，不能说明是菱形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴不能说明是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故本选项不符合题意， D、， ， ， 不能证得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，，，再利用勾股定理可得，则可得，然后根据菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】根据矩形的性质可知且，从而可证四边形是平行四边形，因为，所以，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据等腰三角形三线合一定理可证是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，设，则，，在中，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，解决本题的关键是找出全等三角形利用全等三角形的性质找边之间的关系． 8．B 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握知识点是解决问题的关键． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，根据垂直平分，得到，由勾股定理求即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴． 故选B． 9．A 【分析】由等腰直角三角形的性质得出，，由等腰直角三角形求出点的坐标，根据折叠的性质得出的坐标，代入直线求出即可． 【详解】解：过点C作于D，如图， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴， ∴， 直线，当时，， ， ， ， ， ∵关于轴对称的， ∴， 把点代入直线得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，关于轴、轴对称的点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键． 10．A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查菱形的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】∵四边形为菱形，，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 13． 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，取中点，连接，，证明，得到，则，当在上时，最小，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：取中点，连接，， ∵在矩形中，， ∴，， ∵，E为的中点，中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，由题意得四边形是矩形，所以，，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 【详解】解：连接，    在矩形中，， ， 由旋转可知：， ∵三点共线， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得； （2）参考（1）的方法，先求出，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 18．的度数为 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，平角的定义等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键； 根据正方形的性质求出，根据三角形外角性质求出，最后根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵直角三角尺有一个角是， ∴， ∵木框是正方形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 19．16 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据菱形的性质求解即可得． 【详解】解：∵，分别是，的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长为． 20．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）由正方形的性质得到，，再利用即可证明； （2）可证明，得到点在的垂直平分线上，由全等三角形的性质得到，则可证明垂直平分，进而得到，则可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2）证明四边形是正方形， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 由（1）可知， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 21．(1)图见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图，过点作，交于点，交于点，再连接，由此即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，连接，作图如下： ． （2）证明：平分， ， ， ， 又， ， ， ∵， ， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 22．(1) (2)①四边形是正方形，见解析；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当时，与E重合，最短；当落在的延长线上时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ； （3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $