九年级数学上学期第一次月考·培优卷（北师大版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：特殊的平行四边形~一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 5．（3分）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 8．（3分）（2025·云南丽江·模拟预测）如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为（    ） A．20 B．24 C．40 D．12 10．（3分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 12．（3分）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 13．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，． 14．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 16．（3分）（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 18．（6分）（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接． (1)求证：； (2)若菱形的面积为16，求四边形的面积． 19．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 20．（8分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． (1)在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． (2)在图②中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 21．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 22．（10分）（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)连接，若，，求的长． 23．（12分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 24．（12分）（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连． ①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 2．（3分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 5．（3分）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 6．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 7．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 8．（3分）（2025·云南丽江·模拟预测）如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．利用菱形的面积为20，于点M，，求出，则，由翻折得出点在直线BC上，作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的面积为20，于点M，， ∴，，， ∴，， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴点在直线BC上， 作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为（    ） A．20 B．24 C．40 D．12 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的判定及性质，根据矩形的性质求出，，根据两组对边分别平行可得四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 10．（3分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：将代入，得， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 12．（3分）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明再根据三角形面积的不变性，得等式，勾股定理，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积应用，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形，， ，． 又， ． ． 在中，，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 13．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，． 【答案】 【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根. 【详解】解：由题意可得． 整理得 ， 解得． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为新定义和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义得出正确的一元二次方程并进行求解。 14．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 16．（3分）（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 则， ∴， ∴， 所以． （2）解：， ∴， ∴或， ∴． 18．（6分）（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接． (1)求证：； (2)若菱形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，结合菱形的性质得，，然后得出四边形是矩形，再整理线段之间的关系，得，即可作答． （2）因为四边形是菱形，则，，故，整理得，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， （2）解：∵四边形是菱形， ，， 即， 则 19．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 20．（8分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． (1)在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． (2)在图②中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题． （1）利用数形结合的思想作图，则，，即四边形是平行四边形，且，进行作答即可； （2）取的垂线上且在格点上的点即E、F，，且，根据正方形的判定作图即可． 【详解】（1）解：平行四边形的周长为， ， 即可确定C、D的位置， 如图所示，平行四边形为所求作图形； （2）解：如图所示，正方形为所求作图形． 21．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 22．（10分）（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再证得四边形是矩形，得，即可证得平行四边形是菱形； （2）先证得是等边三角形，得，利用勾股定理求得，结合矩形的性质可得、，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由（1）可得：四边形是矩形， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 23．（12分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 24．（12分）（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连． ①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，理由见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； （2）解：①四边形是“神奇四边形”， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由①可得，， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． 【点睛】本题考查新定义、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$