专题01 锐角三角函数的概念及简单计算（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 锐角三角函数的概念及简单计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的相关概念及简单计算 1 题型二、余弦的相关概念及简单计算 2 题型三、正切的相关概念及简单计算 3 题型四、同角三角函数的关系（常考点） 4 题型五、互余两角的三角函数关系 4 题型六、特殊角的三角函数及其运算（高频考点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的相关概念及简单计算 1．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 5．在中，，则的值为 ． 6．已知等腰三角形的腰长为13，底边长为24，则该等腰三角形底角的正弦值为 ． 7．在Rt中，．求的值． 8．甲、乙、丙三人在同一水平地面上放风筝，三人放出的风筝线的长度分别为和40m，线与地平面所成的角分别为和．假设风筝线是拉直的，谁放的风筝最高（甲、乙、丙三人的身高忽略不计）？ 题型二、余弦的相关概念及计算 9．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 10．把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 11．在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 12．在中，，，，则等于（   ） A． B．1 C．2 D．3 13．如图，，直线的表达式为，则的值为 ． 14．在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 15．如图，已知，在中，，，求的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 题型三、正切的相关概念及计算 17．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 18．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 19．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 20．在中，，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 21．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点，则的值是 ． 22．在中，．若，，则的长是 ． 23．已知：如图，中，于点，若，，求． 题型四、同角三角函数的关系 24．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 25．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 26．已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 27．设为锐角，且满足，则等于（ ） A． B． C． D． 28．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 30．如果是锐角，，那么为 ． 31．如果是锐角，且，那么 度 32．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 题型五、互余两角的三角函数关系 33．若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 34．已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 35．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 36．比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1） ． （2） ． 37．在中，，，则的值为 ． 38．已知是锐角，且，则 ． 39．已知α为锐角，则 ． 题型六、特殊角的三角函数及其运算 40．下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 41．计算的值为（     ） A． B． C． D． 42．的值等于（   ） A． B． C． D．1 43．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 44．的值等于（   ） A． B． C． D． 45．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 46．已知，且为锐角，则（   ）． A． B． C． D． 47．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 48．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 49．计算： ． 50．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 51．在中，为锐角，且有，则这个三角形是 三角形． 52．计算：． 53．计算：． 54．计算： 55．计算：． 56．计算： (1)． (2)． 57．计算： (1) (2) 58．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 1．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 3．在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 4．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 8．阅读理解题，．． 故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，则的值为 10．已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点．若，则 ． 11．在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 12．如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 13．为锐角，当无意义时，则 ． 14．计算： (1)； (2)． 15．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数的概念及简单计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的相关概念及简单计算 1 题型二、余弦的相关概念及简单计算 3 题型三、正切的相关概念及简单计算 7 题型四、同角三角函数的关系（常考点） 9 题型五、互余两角的三角函数关系 12 题型六、特殊角的三角函数及其运算（高频考点） 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的相关概念及简单计算 1．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【解析】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 3．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ． 故选：D． 4．如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 5．在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【解析】解：如图， ∵， ∴， 故答案为：． 6．已知等腰三角形的腰长为13，底边长为24，则该等腰三角形底角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点作于点． 由题意得：， 该等腰三角形底角的正弦值为． 故答案为：． 7．在Rt中，．求的值． 【答案】 【解析】解：设，则． 由勾股定理，得， 8．甲、乙、丙三人在同一水平地面上放风筝，三人放出的风筝线的长度分别为和40m，线与地平面所成的角分别为和．假设风筝线是拉直的，谁放的风筝最高（甲、乙、丙三人的身高忽略不计）？ 【答案】乙放的风箏最高. 【解析】解：甲：； 乙：； 丙：． ， ∴乙放的风箏最高． 题型二、余弦的相关概念及计算 9．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 10．把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 【答案】B 【解析】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 11．在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 12．在中，，，，则等于（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：∵在中，，，， ∴，即， ， ∴， 故选：B． 13．如图，，直线的表达式为，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：由直线的表达式为，得点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴， ， ，故答案为：. 14．在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【解析】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 16．如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【答案】(1)点P的纵坐标为8 (2) 【解析】（1）如图，过点P作轴于点M， 则， ∵点P的横坐标为6， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负数舍去）， ， 点P的纵坐标为8． （2）由（1）知，， ， 故答案为：． 题型三、正切的相关概念及计算 17．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：tanA=． 故答案为A． 18．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【解析】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 19．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：由图可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 20．在中，，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：如图：作PC⊥y轴于点C， tanα==， 故答案为： 22．在中，．若，，则的长是 ． 【答案】5 【解析】解：在中，， ∵，， ∴， 故答案为：5． 23．已知：如图，中，于点，若，，求． 【答案】 【解析】解：∵ ∴CD=4 ∵ ∴ ∴AD=BD=6 ∴tanC= 【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握正切值的定义是解决此题的关键． 题型四、同角三角函数的关系 24．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵tana＝， ∴sina＝＝， 故选：B． 25．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 26．已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 27．设为锐角，且满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解:将sinx=3cosx代入sinx+cosx=1中得:9cosx+cosx=1, 即 cosx= sinx=1-cosx=， sinx与cosx同号, sinccosx>0, 则 sinxcosx = = 所以D选项是正确的. 28．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【解析】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 30．如果是锐角，，那么为 ． 【答案】 【解析】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：． 31．如果是锐角，且，那么 度 【答案】48 【解析】∵是锐角，， 又∵， ∴48°． 故答案是48． 32．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【解析】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 题型五、互余两角的三角函数关系 33．若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， 故选：B． 34．已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∴ 故选：D 35．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为∠ACB=90°，CD⊥AB， 所以， 故选 B． 36．比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1） ． （2） ． 【答案】 < > 【解析】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． ∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为： 37．在中，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：在中，，， ∴． 故答案为：． 38．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【解析】解：根据三角函数关系可得 又∵ ∴ 故答案为 39．已知α为锐角，则 ． 【答案】0 【解析】解：∵α为锐角， ∴， ∴． 故答案为：0． 题型六、特殊角的三角函数及其运算 40．下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 41．计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 故选：． 42．的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 43．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：， 故选：A． 44．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ． 故选：D． 45．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，且是锐角， ∴ ， 故选：D． 46．已知，且为锐角，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，且为锐角， ∴， 故选：． 47．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：为锐角，且， ， ， 故选：． 48．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【解析】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 49．计算： ． 【答案】0 【解析】解：， 故答案为：． 50．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 51．在中，为锐角，且有，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【解析】解：∵，且， ∴， ∴， ∴，即这个三角形是直角三角形. 故答案为: 直角. 52．计算：． 【答案】 【解析】 ． 53．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 54．计算： 【答案】 【解析】解：原式＝ 55．计算：． 【答案】2 【解析】解：原式 ． 56．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2)2 【解析】解：（1）原式． （2）原式． 57．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 58．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 1．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】解：． 故选：B． 2．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 3．在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【解析】解：∵将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，变化后的三角形和原三角形相似， ∴的度数不变， ∴的余弦值不变； 故选A． 4．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 5．在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示， ∴， 故选：A． 6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图：过点A作垂直于的延长线于点D，由网格可知：， ∴， ∴在中， ． 故选：C． 7．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【解析】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 8．阅读理解题，．． 故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当为锐角时，有， 故选：A. 9．如图，中，，，，则的值为 【答案】/ 【解析】解：△中，，，， 则， 故答案为：． 10．已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点．若，则 ． 【答案】或 【解析】解：如图，当时，在中，， 则； 当时，在中，， 则． 故答案为：或 11．在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【解析】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 12．如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 【答案】或 【解析】解：， ， ，， ，， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或． 13．为锐角，当无意义时，则 ． 【答案】 【解析】解：∵无意义， ∴，即， ∵为锐角， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 15．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【解析】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解： ， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $