江苏省镇江市丹徒区高资中学集团五校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年九年级第一次月考 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B C A B B C 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．　3　 ．12．　25　13．　±3或﹣5　 14．　10　15．　4　16．10　 ． 三．解答题（共8小题，满分84分） 17．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13， ∴x﹣3＝±， ∴x1＝3+，x2＝3﹣； （2）3x（x﹣2）＝2x﹣4， 3x（x﹣2）＝2（x﹣2）， 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， ∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0， ∴x1＝，x2＝2． 18．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 19．【解答】证明：连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠E， ∴∠DOB＝∠BOE， ∴＝． 20．【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 50（1﹣a）2＝32， 解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2， 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克应涨价x元，由题意，得 （10+x）（500﹣20x）＝6000， 整理，得 x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 21．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米， 依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45， 整理，得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去； 当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意． 答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米． 22．【解答】解：（1）∵直径AB＝26m， ∴OD＝， ∵OE⊥CD， ∴， ∵OE：CD＝5：24， ∴OE：ED＝5：12， ∴设OE＝5x，ED＝12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132， 解得x＝1， ∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m； （2）由（1）得OE＝1×5＝5m， 延长OE交圆O于点F， ∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m， ∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 23．【解答】解：（1）由题意，得 AP＝6cm，BQ＝12cm． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm， ∴BP＝12﹣6＝6cm． 故答案为：6、12． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 设BD＝x， 当∠PQB＝90°时， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝12﹣x，BQ＝2x， ∴12﹣x＝2×2x， ∴x＝， 当∠QPB＝90°时， ∴∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴2x＝2（12﹣x）， x＝6 答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB＝90°， ∴∠DQB＝30°， ∴DB＝BQ＝x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ＝x， ∴， 解得；x1＝10，x2＝2， ∵x＝10时，2x＞12，故舍去 ∴x＝2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2． 24． 【解答】解：（1）①当 m＝2 时，方程为 x2﹣3x+2＝0， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得m1＝﹣1，m2＝3 则当m＝﹣1或3时，若该全整根方程的“关爱码”是﹣1， 故答案为：﹣1或3； （2）∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， 其中完全平方数有49、64和81， 当4m+29＝49 时，m＝5， 当4m+29＝64时， （不合题意）， 当4m+29＝81时，m＝13， 当m＝5时，原方程为x2﹣7x＝0， 则， 当m＝13时，原方程为x2﹣23x+112＝0， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）方程 x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码， 由题意得：， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∴m+n＝0 或 m﹣n＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＝0不合题意， ∴m﹣n＝2． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学课堂练习卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 2．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 3．下列说法正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 4．已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 5．如图，AB是⊙O的直径，的度数为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 图5 图8 6．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 7．若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 8．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此（x+x+5）2＝81，所以x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣2x﹣8＝0解法的构图是（　　） A．B． C． D． 9．如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．60 B．40 C．34 D．20 图9 图10 图12 图14 10．如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（　　） A． B． C．（2，2） D．（2，4） 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知2是方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则另一个根为　 　 ． 12．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝　 　 度． 13.如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　 ． 14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　 　 ． 15．如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为　 　 cm． 图15 图16 16．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4． 18．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 19．（8分）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：＝． 20．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 21．（8分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 22．（8分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 23．（12分）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　 cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 24．（12分）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2＝﹣不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）＝；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　 　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　 　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $