第19讲 空间距离与空间角-2026年广东春季高考数学复习讲义

第19讲 口知织导图 空间距离和空间角 空间角 已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点0分别作直线a'∥a, 定义一b'∥b,则异面直线a与b所成的角（或夹角）就是直线a'与b'所成 的锐角（或直角）. 范围一0°<6≤90°.特别地，当6=90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 线线角 ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角。 思路 ②证：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角的值，常利用解三角形得出， 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围 是0°〈日≤90° 有关概念 对应图形 一条直线与平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线 斜线 叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的 射影 直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面。 上的射影为直线AO 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠P40 直线与平面 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°：一条直线和平面平行，或在 线面角 所成的角 平面内，它们所成的角是0 取值范围 设直线与平面所成的角为8,0°≤090° ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线。 思路一 ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的 锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 定义一从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 B 画法一 a P 二而角 平卧式 直立式 记法一二而角a一1一B或二面角a一AB-B或二面角P-1一Q或二面角P -AB-Q. 范围一0°≤a≤180 一作：即先作出二面角的平面角； 思路一 二证：即说明所作角是二面角的平面角： 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值， 其中关键是“作” 考点突破 考向一线线角 考向三二面角 空间距离和空间角 考向二线面角 考向四点面距 考向一线线角 【例1-1】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，异面直线A,C,与BC所成的角是（) D C B D.… C A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】B 【解析】因为BC11A,D,,所以异面直线AC与BC所成的角为LD4,C1=45°. 故选：B 【例1-2】如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM 和CN所成角的余弦值为() B M A. 3 B. 3 C. D. 5 【答案】A 3 【解析】 D C 如图，连接DM,取DM的中点为P,连接PM,PC,因M、N分别是BC与AD的中点，故NPIIAM, 则∠CNP即异面直线AM和CN所成角或其补角，又因正四面体ABCD,则AM=CN=5, 2， 则PMPv号：g易知DM L BC,则PC=PM+CME方 4 △CPN中，由余弦定理，cos∠CwP=NP+CN2-CP」 +44一=故选：A 2 2×NP×CN 2xV3 V3 3 24 【变式】 1.长方体ABCD-AB,CD,中，A4=AD=2,AB=22，,则异面直线DB,与AA,所成角的大小为() A.30 B.45° C.60° D.90° 【答案】C D C 【解析】 B 如图所示，因AA,IIDD,则∠DDB,即异面直线DB,与AA所成角. 连接DA,在R1△DDB中，an∠D,DB,-D&-2+2-5, DD 则∠D,DB,=60°，即异面直线DB,与AA,所成角为60. 故选：C 2.如图，在长方体，ABCD-A,B,CD,中，AD=AA,=1,AB=√5，则异面直线CD与A,C,所成的角的大 小为（) D C B D C B A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】CDI1CD, ,∠ACD,是异面直线CD与AC所成的角或其补角， 在直角aA,C,D中，A,D,=AD=1,C,D,=AB=V5, tam∠ACD-A2-5 CD3所以LACD=30 所以异面直线CD与AC所成的角是30°， 故选：A 3.如图，在正三棱柱ABC-A,BC,中，AB=BB,=2,则异面直线BC与 C A.2 4 B.-② 4 C. √2 D.- 2 【答案】A 【解析】在正三棱柱ABC-AB,C,中，连接AB, 由BC∥BG,得LAC,B,为异面直线BC与AC,所成角或其补角， Rt△AAB,中，AB,=2V2,同理AC,=22, 在等腰△AB,C,中，coS∠ACB,=2 AC 22 4 AC,所成角的余弦值为（) 所以异面直线BC与AC所成角的余弦值为2 4 故选：A B C C 4.如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C中，AA,=AC=AB=A,C=2,D,E,F分别为AC,A,B,BC的中点，则异 面直线AD和EF所成角的余弦值为（) D C E B A. B.27 3 7 c.26 7 D. 2 【答案】B 【解析】连接A,C,DE,DC,如下图所示： A 根据三棱柱性质可得BC∥B,C, 又因为D,E,F分别为4C,4B,BC的中点，所以DE/BC,DE=)BC, 又FCBC且PCBC号BC,所以可得FCHDE且FC=nE, 即可得四边形DEFC为平行四边形，因此EFIIDC; 即可得异面直线AD和EF所成的角即为AD和DC所成的角，即为∠ADC或其补角. 6 因为AA,=AC=AB=A,C=2,所以∠AAC=60°，∠AA,D=120°， 在△AA,D中，由余弦定理可得AD2=AA+A,D2-2AA,·A,Dc0s120°=4+1+2=7，则AD=√7， 在△CC,D中，由余弦定理可得CD2=CC2+C,D2-2CC1·C,Dc0s60°=4+1-2=3，则CD=√5， 国此在a4CD中，由余弦定理可得cos∠ADC=4D+CD-AC-7+3-4V2 2AD.CD 2W7×571 即异面直线AD和EF所成角的余弦值为2I,故选：B, 考向二线面角 【例2-1】.如图所示，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D中，AB=3,AA=4,则直线DB与平面ABCD所成 角的正弦值为（) D C B D C B A.2V34 B.34 C.22 D. 334 17 17 3 34 【答案】A 【解析】因为DD,⊥平面ABCD, 所以∠D,BD为直线D,B与平面ABCD所成的角， 在RtaD,BD中，sin∠DBD=DD=4=234 BD V3V2)2+4217 所以直线D,B与平面ABCD所成角的正弦值为254 17 故选：A 【例2-2】在长方体ABCD-A,B,CD,中，已知AB=2,BC=BB,=1,则直线A,B与平面A,B,CD所成角的正 弦值为（) A. B. 3 C.V5 D.V10 5 10 【答案】D 7 【解析】如图，设点E为线段B,C的中点，连接BE,AE D 因为在长方体中，DC⊥CB,DC⊥CC,CB∩CC,=C,CB,CC,C平面BCC,B, 所以DC⊥平面BCCB,,BEc平面BCCB,得DC⊥BE. 又BC=BB=1,且E为线段BC的中点，所以BE⊥B,C,且B,C∩DC=C,BC,DCC平面A,B,CD, 所以BE⊥平面A,B,CD,故∠BA,E就是直线A,B与面AB,CD所成的角. 在直角三角形BAE中，AB=AB+BB=V5,BEBC2+BBV 2 所以sin∠BAE=BE-.故直线4B与平面ABCD所成角的正孩值为 AB 10 10 故选：D. 【变式】 1.正方体ABCD-A,B,CD,中，则A,C与底面ABCD所成角的正弦值为() A.3 2 B. 2 C.6 3 D.3 3 【答案】D 【解析】因为ABCD-A,B,CD为正方体，所以AA⊥平面ABCD, 所以∠ACA为直线A,C与平面ABCD的夹角， 设AB=a,在△ACA中，AC=V2a,AA=a,AC=VAC2+AA2=V3a, 所以sin∠4CA=44=a=5 ACV3a3’ Du A D. 故选：D 2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC,∠ACB=90°，PA CO与平面PAC所成角的余弦值为（) A.6 B.6 D. 2 3 C.3 3 【答案】B 【解析】取PC的中点为E,连接EO,可得EO∥BC, ,PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,∴.PA⊥BC, ∴.又AC⊥BC,ACOPA=A,AC,PAC平面APC, E ∴.BC⊥平面APC,又EO∥BC,∴.EO⊥平面APC, .∠EC0为直线与平面所成角，设PA=AC=BC=2,EO=1, .CE=V2,0C=5, 则COSLEC0=CE=2V6 C053, 直线C0与平面P4C所成角的余弦值为y6 故选：B 3.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，，点M,N分别为线段AC ⊥平面ABC,O为PB的中点，则直线 3 和线段A,B的中点，求直线MN与平 面AB,BA所成角为（) A D ⊙ D M B C A.60° B.45° C.30° D.75° 【答案】B A D C 【解析】 A D 如图，取AB的中点O,连接OM,0N,因M是AC的中点，故OM/1BC, 又因正方体ABCD-AB,CD,中，BC⊥平面AB,BA,故OM⊥平面AB,BA, 即ON是MN在平面A,B,BA上的射影，故∠MNO即直线N与平面AB,BA所成角， 因N是4B的中点，故ON-544=号BC=OM,易得，∠O=45, 即直线MN与平面AB,BA所成角为45°. 故选：B 4.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，AB=1. D B A 夕 (I)求证：AB/1平面ADCB; 10第19讲 口知织导图 空间距离和空间角 空间角 已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点0分别作直线a'∥a, 定义一b'∥b,则异面直线a与b所成的角（或夹角）就是直线a'与b'所成 的锐角（或直角）. 范围一0°<6≤90°.特别地，当6=90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 线线角 ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角。 思路 ②证：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角的值，常利用解三角形得出， 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围 是0°〈日≤90° 有关概念 对应图形 一条直线与平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线 斜线 叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的 射影 直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面。 上的射影为直线AO 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠P40 直线与平面 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°：一条直线和平面平行，或在 线面角 所成的角 平面内，它们所成的角是0 取值范围 设直线与平面所成的角为8,0°≤090° ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线。 思路一 ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的 锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 定义一从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 B 画法一 a P 二而角 平卧式 直立式 记法一二而角a一1一B或二面角a一AB-B或二面角P-1一Q或二面角P -AB-Q. 范围一0°≤a≤180 一作：即先作出二面角的平面角； 思路一 二证：即说明所作角是二面角的平面角： 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值， 其中关键是“作” 考点突破 考向一线线角 考向三二面角 空间距离和空间角 考向二线面角 考向四点面距 考向一线线角 【例1-1】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，异面直线A,C,与BC所成的角是（) D B Di. A.30 B.45 C.60 D.90 【例1-2】如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中，点，则异面直线AM 和CN所成角的余弦值为（) B 2 A. 3 B.3 3 C. 6 D. 【变式】 1.长方体ABCD-A,B,CD中，AA=AD=2,AB=2√2，则异面直线DB,与AA所成角的大小为（) A.30° B.45° C.60° D.90 2.如图，在长方体，ABCD-A,B,CD,中，AD=AA,=1,AB=√5，则异面直线CD与AC所成的角的大 小为（) D B A D B 3 A.30 B.45° C.60° D.90° 3.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=BB=2,则异面直线BC与AC所成角的余弦值为() B B A.② 4 B.-② 4 C.② D.-2 2 4.如图，在斜三棱柱ABC-AB,C中，AA=AC=AB=A,C=2,D,E,F分别为AC,A,B,BC的中点，则异 面直线AD和EF所成角的余弦值为（) A D B B A. 吟 7 B.27 7 C.26 7 D.3 2 考向二线面角 【例2-1】.如图所示，在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=3,AA,=4,则直线D,B与平面ABCD所成 角的正弦值为() D 、 6N D C A.2V34 B.34 C.22 D.3v34 17 17 3 34 【例2-2】在长方体ABCD-A,BCD中，已知AB=2,BC=BB,=1,则直线A,B与平面A,B,CD所成角的正 弦值为() A. B.3 3 C. D. V10 5 10 【变式】 1.正方体ABCD-A,B,CD中，则AC与底面ABCD所成角的正弦值为() A号 B.月 C.6 3 D.3 3 2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC,LACB=90°，PA⊥平面ABC,0为PB的中点，则直线 CO与平面PAC所成角的余弦值为（) B A.6 B.v6 3 C.3 3 D. 3.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M,N分别为线段AC和线段AB的中点，求直线MN与平 面A,B,BA所成角为（) A D C M C A.60° B.45° C.30° D.75° 4.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D中，AB=1. D C A B D B (1)求证：AB/1平面ADCB; (2)求证：BC⊥平面ADCB; (3)求直线A,B和平面A,DCB,所成的角. 考向三二面角 【例3-1】已知ABCD-A,B,CD,为正方体，F、E分别为AB、BD的中点，则二面角E-BF-C的大小 为() D CU B E D A.30° B.45° C.60° D.90° 【例3-2】如图，点B在以AC为直径的圆0的圆周上，∠A0B=T,PA1平面ABC,2PA=AC=4,则二面 3 角P-BC-A的平面角为() C B A. 元 B. c.4 D.& 【变式】 1.如图，棱长为1的正方体中ABCD-A,B,CD,中，二面角4-CD-D,的正切值为一 D B D B C 2.如图，长方体ABCD-A,B,C,D中，ABCD是边长为1的正方形，DB与平面ABCD所成的角为45°， 则棱AA,的长为 :二面角B-DD,-C的大小为 6 D A B Di---- --C B 3.我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形， 称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正 PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. P : E D.. (I)求证：直线AE⊥平面PBC; (2)求二面角P-DC-B的大小. 4.如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AB=AC=AD=1,AB⊥AC. 一侧棱垂直于底面的四棱锥” 方形，PA⊥底面ABCD, C D (1)求证：AF⊥CE; (2)求二面角A-EF-C的正弦值 5.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正 D (I)求证：EF/1平面PCD; (2)求证：平面PBD⊥平面PAC; (3)若PA=AB,求二面角P-CD-A的大小. 方形，PA⊥底面ABCD,E 8 C、F分别是AC、PB的中点. 考向四点面距 【例4-1】长方体AC,中，AB=BC=2,A4,=4,则，点A到平面ABD的距离为（) A.2 B. C.45 D.2√2 3 【例4-2】如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC,AC⊥BC. B (1)证明：BC⊥平面PAC; (2)过A,点作AD垂直PC于D,证明：AD⊥PB; (3)若BC=1,AC=V5,求，点C到平面PAB的距离. 【变式】 1.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点D到平面ACA的距离为() A.32 B.3 C.3√2 2.《九章算术》是中国古代数学的经典著作，书中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在 如图所示的“堑堵中，AB=AC=AA=2,P是B,C的中点，则C到平面ABP的距离为（) C B A.√3 B.35 C.4v5 D.√5 5 5 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，LBAD=LCDA=90°，PA⊥平面ABCD,2 是PB的中点，PA=AD=DC=L,AB=2. 9 D (1)证明：CQ∥平面PAD; (2)求点D到平面PAC的距离， 4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD1中，E, D C A E D B (I)求点D到平面AEF的距离： (2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值 10 F分别为线段DD,BD的中点.