第18讲 空间几何体的平行与垂直-2026年广东春季高考数学复习讲义

null 第18讲 空间几何体的平行与垂直 考向一 平面的概念及性质 【例1-1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 【例1-2】下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【解析】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 【变式】 ．若一直线a在平面内，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】B选项中直线超出平面，故B选项错误； C选项中没有画出直线，故C选项错误； D选项直线与平面相交，故D选项错误. 故选：A. 2．用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错.故选：A 3．可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【解析】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 4．已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误；两条异面直线不能确定一个平面，故③错误.故选：D. 5．给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个，故选：B. 考向二 三角形的中位线证线面平行 【例2-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：连接，易知，. 又由，故.又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. 【变式】 1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，求证：A1B1平面DEC1. 【答案】证明见解析. 【解析】因为D，E分别为BC，AC的中点，所以是三角形的中位线，所以. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，，所以. 又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1. 2．如图，三棱柱中，N为线段的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】如图： 连接交于点，连接，则为的中点，又为线段的中点，则， 因为平面平面，所以直线平面. 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，求证：∥平面 【答案】证明见解析 【解析】连接交于，且连接，则为的中点． 因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为面，面，所以面 考向三 构造平行四边形证线面平行 【例3】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    【答案】证明见解析 【解析】取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点，所以且， 故且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面    【变式】 1．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【解析】取中点，连接， 为中点，且 又且，四边形是平行四边形，， 平面平面，平面 2．如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：直线平面PAB. 【答案】证明见解析 【解析】取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，， 由得， 又，所以，即四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，故平面． 3.已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点，求证：平面MBC 【答案】证明见解析； 【解析】设为中点，连接，又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面MBC，平面MBC，则平面MBC； 4．在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面 【答案】证明见解析. 【解析】证明：连接，设，连接. 且，是平行四边形.. 又平面，平面，平面. 考向四 证明面面平行 【例4】如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以.又，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【变式】 1．如图，已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，点为底面圆的三等分点，分别是的中点，求证：平面平面    【答案】证明见解析 【解析】）因为，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面. 2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面，所以平面， 连接，则．所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 3.如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵四边形为正方形，四边形为矩形，∴，且. ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面，平面，∴平面. 同理平面. 又∵，为平面内的两条相交直线，∴平面平面. 4.如图所示，多面体中，四边形为菱形，，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】∵四边形是菱形，∴． 又∵平面，平面，∴平面． 同理得，平面． ∵，平面，且， ∴平面平面； 考向五 线面垂直 【例5-1】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为2的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵为正方形的对角线 ∴ ∵，且 ∴， 又∵，， ∴. 【例5-2】如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面 【答案】证明见解析 【解析】证明:，， 又，，故， 又平面平面，， 又，平面. 【例5-3】如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图取中点，连接． 因为四边形为菱形，所以 又因为三棱柱的所有棱长均为2，， 所以和是等边三角形，所以 因为平面， 所以平面 所以，而， 所以平面 【变式】 1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 2．如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：如图，取直线的中点，连接，， 因为是的中点，所以，. 又因为底面ABCD为菱形，是BC的中点，所以，， 即四边形BEFG为平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为底面为菱形，，E是的中点， 所以，则， 又平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，F是PD的中点，所以， 又因为，所以平面. 4.如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面 【答案】证明见解析 【解析】如图所示，连接，由是边长为的正方形， 因为是的中点，可得的中点， 在中，因为分别是的中点，可得， 又因为，所以， 又由，且，所以平面. 考向六 面面垂直 【例6】如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】由题意可得， 所以，因此. 在直四棱柱中， 平面，平面，所以 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【变式】 1．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面 【答案】证明见解析 【解析】因为四边形是菱形，所以 因为平面平面所以 又因为所以平面 因为平面所以平面平面. 2．如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，因所以 因为平面平面，平面平面，所以平面 因为平面，所以 因为，所以平面 因为平面，所以平面平面 3．如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点，证明：平面AEM⊥平面BCDE 【答案】证明见详解 【解析】根据题意可得，. 又为圆柱的母线，平面. ，， 平面. 又平面， 平面平面． 4．如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解析】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴. ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. ∵，∴. ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 5．如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起（折起后到的位置），设，点是线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）连接， ∵分别是，的中点，∴， 又∵平面，，∴面. （2）连接， 在菱形中，，所以和是等边三角形， ∴，， 又，面，所以平面， 又面，所以平面平面. （3）过点P作， 由（2）知，平面，又面，∴， 又，面，所以面， ∵，，所以， 又，所以三角形为等边三角形，∴， 又， 故三棱锥的体积. 考向七 线线垂直 【例7】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证 【答案】证明见解析 【解析】交点为，连接， 是边长为2的菱形，是的中点， ， 又平面，平面，，平面， 平面， 【变式】 1．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证： 【答案】证明见解析 【解析】取AC中点M，连接FM，DM， 分别为AB，AC中点，， ， 四边形DEFM是平行四边形，， ， 平面ACD，， 平面CDM，平面CDM，； 2．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点. （1）求证:; （2）求证:平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 证明：（1）连， ，底面为菱形， 是等边三角形， ， ， 又， ， 又面面， ， ， 面面， . 取的中点，连， ， 所以， 又， ， 四边形是平行四边形， ， 又面面， 面. 3．如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】证明：取中点，连，， 因为是正三角形，所以.又是中点，所以. 因为，即.所以，因为，､平而， 所以平面，平面，所以. 考向八 判断定理与性质定理 【例8-1】若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【解析】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D 【例8-2】设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项A： 若，那么可能在平面内，所以A错误； 对于选项B： 因为，所以，所以B正确； 对于选项C： 若，那么可能在平面内，所以C错误； 对于选项D： 若，那么可能在平面内，所以D错误. 故选：B. 【变式】 1．已知平面及两条不重合的直线，，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，若，则或，所以必要性不成立；    若，则，且，则， 因为，，所以，所以，所以充分性成立； 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】若，，则或，相交，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C错误； 过做平面，设，若，则由线面平行的性质定理可知. 因为，所以，又因为，所以由线面垂直的判定定理可得， 故D正确. 故选：D 3．若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】A：若，，则，故A正确； B：，存在平面，使得且， 因为，所以，故，故B正确； C：若，，则，又，则，故C正确； D：若，，则或与异面或与相交，故D错误 故选：D． 4．设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则与平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或在内或与相交，故D错误. 故选：C. 题组一 平面的概念及性质 1．下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【解析】对于选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故B错误； 对于选项C，由于梯形有一组对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故C正确； 对于选项D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 2．下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，A选项正确；，B选项错误；D选项正确；，C选项正确； 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【解析】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 4．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 5．用符号语言表示下列语句，正确的个数是　(　　) （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． （4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误； （2）由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内，故表示为：，，，故正确. （3）平面与平面相交于直线l，表示为，l经过点P，点P在直线l上，.故正确. （4）错误，缺少，故错误，所以（2）（3）正确. 故选：B. 6．如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由图可知：，故选：B 7．下列图形中，满足，，，，的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断. 对A不满足，故错误,对B不满足，故错误,对C满足条件，正确. 对D不满足，，故错误.故选：C 8．下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 题组二 三角形的中位线证线面平行 1．如图，直三棱柱的体积为4，是的中点，求证：平面    【答案】证明见解析； 【解析】连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面，所以平面. 2．正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，设，连接， ∵是正三棱柱的侧面，∴为矩形，∴是的中点，∴是的中位线， ∴，又平面，平面，∴平面. 3．如图，正三棱柱中，D为棱的中点，证明：平面 【答案】证明见解析； 【解析】在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. 4．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，证明：平面 【答案】证明过程见解析 【解析】因为点，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 5.在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析. 【节选】因为分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 6.如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：平面EBD. 【答案】证明见解析； 【解析】连接AC交BD于点O，连接EO. 四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又E为PA中点， ，又面，面EBD， 面. 7．如图，棱长为2的正方体中，E是的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】连接交于，连接， 在正方体中，为的中点，且为中点， 所以是的中位线，即， 又平面，平面，所以平面； 8．如图，正三棱柱中，为的中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【解析】连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 9．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2）由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 10．如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在棱长为2的正方体中，设相交于点，连结，   是中点，而为中点，， 又平面平面，平面． （2）在棱长为2的正方体中，平面， 又三棱锥的体积为， ，． 题组三 构造平行四边形证线面平行 1．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为平面，所以． 又，所以是的中点，所以，． 取的中点，连接，，可知，，所以，， 所以四边形是平行四边形，从而． 因为平面，平面，所以平面． 2．如图，在长方体中，分别为和的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图，在长方体中，取的中点O，连接OF，OE． 在中，因为F，O分别是，中点，所以，且， 因为四边形为矩形，所以，， 因为是的中点，所以，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 3．在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 4．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，分别为，的中点，求证：平面 【答案】证明见解析； 【解析】如图，取的中点，连接， 分别为，的中点，， ，则， ，，则， 四边形是平行四边形，则有， 又平面，平面， 平面. 5.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE； 【答案】证明见解析 【解析】证明：连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C． 又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． 6.．如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    【答案】证明见解析 【解析】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    7．如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 题组四 证明面面平行 1．如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 2．如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】（1）连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点， 在中，是的中位线，则， 又平面平面，所以平面； （2）因为为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 由（1）知平面，又因为，平面， 所以平面平面． 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】证明见解析 【解析】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 4．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. 5．如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中，故,且， 所以四边形为平行四边形，所以, 因为平面，平面，所以平面， 又因为,,且,所以相似于, 所以,因为平面，平面，所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. 6．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 7．如图，在长方体中，求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为在长方体中，易知：且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形； 因此，； 又平面，平面；平面，平面； 所以平面；平面； 又平面，平面，， 所以平面平面； 8．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】因为且，所以， 因为，所以，故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面; 9．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． 10．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内，所以平面. 由（1）知，平面.因为平面，所以平面平面. 11．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【解析】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面，则平面， 同理平面，平面，可得平面， 又，平面，所以平面平面． 题组五 线面垂直 1．如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 2．如图，在正四棱柱中，是的中点，且.    (1)证明：平面. (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）在正四棱柱中，连接，连接，则为中点， 而是的中点，则，又平面，平面， 所以平面.    （2）四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形， 在正方形中，，则矩形为正方形，，而， 因此，又平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 因此，又平面， 所以平面. 3．如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点E为棱的中点，，，连接 (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解析】（1） 连接交于点，再连接，因为底面为菱形， 所以，又因为点E为棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 又因为，平面， 所以平面； 4．如图，在三棱锥中，底面，，D，E分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【解析】（1）∵点D、E分别是棱、的中点， ∴， 又∵平面，平面；      ∴平面． （2）∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面. 5．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接. 在中，，所以. 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）连接. 在中，，，所以. 由（1）知，所以. 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理得. 而，， 所以，又，所以. 又平面， 所以平面. 6．在正方体中，点E和点F分别为和的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图： 连接，因为为正方体，所以. 又点E和点F分别为和的中点，所以， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）因为为正方体， 所以平面，平面，所以， 又，与是平面内的两条相交直线， 所以平面. 又 所以平面. 7．在直三棱柱中，已知为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，，，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）如图，取中点，连接，，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）如图，因为，，， 所以，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以四边形为正方形，所以， 又，平面，平面，所以平面． 8．如图，在长方体中，点E，F分别为棱的中点． (1)证明：B，D，E，F四点共面； (2)若，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接，如图所示，因为点E，F分别为棱的中点， 所以， 又在长方体中，， 所以，所以D，B，F，E四点共面． （2）如图2，，∴， ，又， ，． 是长方体，平面，又平面，， 又，平面，且，平面． 9．如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 10．如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】如图所示，连接，在平行四边形中，，， ， ，即， 从而有，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面， ， 又，为中点， ，又,平面， 平面. 题组六 面面垂直 1．如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点．求证： 平面平面    【答案】证明见解析 【解析】（1）因为平面，平面，所以. 由平面知识易知，即有，所以. 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 2．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 3．如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 4．如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图，连结．    因为分别为棱，的中点，所以． 因为分别为棱，的中点，所以． 在正方体中，显然有，所以． 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面． 又因为平面，平面，， 所以平面平面． （2）如图，连结，交于点，连结，．    由为正方体得，平面， 平面，从而． 又，且平面，平面， 所以平面，平面，故．同理可得． 又显然是的中点，结合为的中点得， 所以，，，平面， 所以平面． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面， 即平面平面． 5．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 6．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 7．如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）取中点为，连接和， 因为点为的中点，所以，， 因为点为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）连接，由，，得， 又，则， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 8．在平行六面体中，. (1)求证:平面 (2)求证:平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为平行六面体中，，平面，平面， 所以平面. （2）因为平行六面体中，， 所以平面是菱形，， 因为，，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 9．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，棱的中点分别为. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 因为棱的中点分别为， 所以，，所以， 又因为平面ADO，平面ADO，所以平面ADO. （2）因为，，O是BC的中点， 所以，且. 因为，所以， 所以，所以. 又因为，平面ABC，所以平面ABC. 又平面ABC，所以. 如图，连接OF，则，从而，且， 所以，得， 所以，所以. 由，，，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 10．如图，在直三棱柱中，点在上，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以 又因为，且平面，平面，， 所以平面, 因为平面，所以平面平面. （2）连结交于，连接. 由（1）知平面，平面， ∴， 又，∴D是的中点. 由是直三棱柱，得四边形为矩形，∴为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又平面，不包含于平面， 所以平面. 题组七 线线垂直 1．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 2．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 3．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图所示：连接.∵四边形为菱形，. 又为直角三角形 ∴四边形为正方形. 连接交于点O. （或其补角）为异面直线与所成的角. ∵四边形为正方形. 4．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图所示：过点M作交于，连接 则为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为a，计算得到，，， 所以，所以，即. 5．如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【答案】见解析 【解析】如图所示：连接，是正方体. ∴四边形是平行四边形. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心， 为的中点 . 6．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【解析】（1）取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 7．如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 8．如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 9．如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是平行四边形且，M，N分别是AB，PC的中点， (1)求证：平面; (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为分别为，，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由于底面，底面，则， 又四边形ABCD是平行四边形且，故, 平面， 故平面，平面， 故. 10．如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 11．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 在直棱柱中，为的中点，则为的中点， 连接，可得为的中点，因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为，所以矩形是正方形，因此. 因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）取的中点，连接，由为中点，得且， 又，，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，由三角形为等边三角形，得， 在直角梯形中，，且， 则，且，四边形是平行四边形， 由，得平行四边形是矩形，则， 而，平面，平面， 因此平面，而平面，则，所以. 13．如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，因此. 14．在正三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）连接交于，连接， 由侧面为矩形，易知是的中点， 由D为的中点，则， 由平面，平面，所以平面； （2）由D为的中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 由平面，所以. 15．如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接交于点E，连接，如图所示. 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以 又点D是棱的中点，所以， 又平面平面，所以平面. （2）因为，点D是棱的中点，所以 在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，所以 又，所以，所以， 又平面，则平面， 又平面，所以. 题组八 判定定理与性质定理 1．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】结合题意由“”能推出“”， 由“”不能推出“”，也可能或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 2．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 3.已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（     ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】D 【解析】对于A： 若时，则不成立，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，则或与相交，故C错误； 对于D：由面面平行的判定定理可知D正确. 故选：D. 4.已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（    ） A． B． 且 C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由可得或与相交，故A错误； 对于B，由可得或或且，故B错误； 对于C，由可得，因，且，由线面平行的性质即得，故C正确； 对于D，如图，在平面内作，因故得，但不成立，故D错误. 故选：C. 5.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，两直线平行于同一平面，两直线可能相交，平行，异面，故A错误； 对于B，此时，m有可能在平面内，故B错误； 对于C，此时，m有可能在平面内，故C错误； 对于D，因，，则，故D正确. 故选：D 6.已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】C 【解析】若，则满足，推不出，故A错误； 若，可能，推不出，故B错误； 由 ，必有，所以由可得，由可得， 又，所以，故C正确； 若不相交时，满足，不能推出，故D错误. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $