第17讲 空间几何基础-2026年广东春季高考数学复习讲义

第17讲 空间几何的特征及体积与表面积 考向一 空间几何体的辨析 【例1-1】．下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【例1-2】下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 【例1-3】下列几何体为旋转体的是（   ） A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 【例1-4】下列命题中正确的是（   ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【变式】 1．下列几何体为旋转体的是（    ） A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台 2．下列命题错误的是（    ） A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 吧 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 3．下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 4．下列三种叙述，正确的有（ ） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 考向二 直观图 【例2-1】如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【例2-2】如图，已知的平面直观图是等腰直角，且，，则的面积是（   ）    A． B． C．1 D． 【例2-3】如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ）    A．2 B． C．4 D．6 2．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（   ）    A． B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 4．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 考向三 多面体的表面积 【例3-1】．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【例3-2】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【例3-3】一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【变式】 1．已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（ ） A． B． C．4 D． 3．已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 4．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44   6．已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 考向四 旋转体的表面积 【例4-1】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【例4-4】已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式】 1．已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（  ） A．4 B．6 C． D． 3．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 4．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（    ） A．3 B． C．4 D．5 5．已知圆台的上底面面积为9π，下底面周长为16π，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A．99π B．42π C．54π D．66π 6．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A． B． C． D． 考向五 多面体的体积 【例5-1】直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【例5-2】已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例5-3】已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 【变式】 1．已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（   ） A．3 B．7 C．9 D．21 5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 考向六 旋转体的体积 【例6-1】已知圆柱的高为9，底面周长为，则圆柱的体积为 . 【例6-2】已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例6-3】已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 . 2．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 3．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 4．已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 考向七 外接球与内切球 【例7-1】已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例7-3】在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例7-4】．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例7-5】已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为 . 【变式】 1．已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 2．设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为 4．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为 5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为 6．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 7．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为 . 题组一 空间几何体的辨析 1．下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 2．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 4．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（   ） A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 6．下面图形中，不是棱锥的是（   ） A．B．C． D． 7．以下说法正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 8．下列命题不正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 9．下列选项中，正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 题组二 直观图 1．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 3．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 4．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积为 （   ） A． B． C． D． 5．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为（    ） A． B． C．10 D．12 7．已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 8．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（   ）    A．8 B． C．1 D． 10．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 题组三 多面体的表面积 1．已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 2．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 3．已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 4．已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（   ） A．2 B． C． D． 5．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 题组四 旋转体的表面积 1．已知圆柱的侧面展开图是长为，宽为的矩形，则圆柱的侧面积为（    ）. A．10 B．20 C．18 D．9 2．以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 3．如图所示，以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 4．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（    ）. A．2 B． C． D．3 6．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（   ） A．5π B．4π C．3π D．2π 8．已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A． B． C． D． 9．已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（    ） A．25 B． C．50 D． 10．如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆台的上底面面积为，下底面周长为，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 13．若圆台的高为2，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，则圆台的侧面积为（ ） A．12 B． C．16 D．24 14．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 题组五 多面体的体积 1．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知正四面体的表面积为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为5，高为3，则该正四棱台的体积为（    ） A．39 B．29 C．35 D．25 8．如图，在直三棱柱中，，，，则直三棱柱的体积为 ． 9．如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为 . 10．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．    11．已知四面体的三组对棱相等，依次为，，5，则该四面体的体积为 ． 12．一个正三棱锥的高是3 ，底面的边长是2 ，这个正三棱锥的体积为 题组六 旋转体的体积 1．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为元，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（   ） A． B．3π C． D．π 6．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 题组七 外接球与内切球 1．已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．棱长为2的正方体的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 5．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为 A． B． C． D． 7．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 8．已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．长宽高分别为1，，2的长方体的外接球表面积为 . 11．已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于 . 12．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 13．已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 14．已知正四棱锥的体积为2，底面边长为，则该正四棱锥的外接球的体积为 . 15．三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 空间几何的特征及体积与表面积 考向一 空间几何体的辨析 【例1-1】．下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【解析】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 【例1-2】下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台． 因此棱台一定是两个面互相平行，且所有侧棱延长后交于同一点， A选项，侧棱延长后没有交于一点，不是棱台，故A不符合题意； B选项，截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意； C选项，几何体不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故C不符合题意； D选项，符合棱台的定义，故D符合题意. 故选：D 【例1-3】下列几何体为旋转体的是（   ） A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 【答案】D 【解析】根据旋转体的定义知，圆柱为旋转体.故选：D. 【例1-4】下列命题中正确的是（   ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】直角三角形绕其直角边旋转得到的旋转体是圆锥，绕其斜边旋转得到的旋转体是两个共底的圆锥，故A错误； 圆锥的轴截面面积为，其中为母线长，为圆锥两条母线所成角的最大值，由此可知，当时，轴截面面积最大， 当时，必存在的截面，使得截面面积取得最大值，故B错误； 由棱锥的定义可知，侧棱长可以相等，也可以不等，故C正确； 由棱台的定义可知，只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故D错误. 故选：C 【变式】 1．下列几何体为旋转体的是（    ） A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台 【答案】D 【解析】在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体.故选：D. 2．下列命题错误的是（    ） A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 【答案】B 【解析】对A，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确； 对B，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误； 对C，棱柱的侧面都是平行四边形，正确； 对D，斜棱柱的侧面有可能是矩形，正确. 故选：B 3．下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【答案】D 【解析】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误； 故选：D. 4．下列三种叙述，正确的有（ ） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错误； ②③可用反例去检验， 如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错． 故选：. 5．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 6．下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【解析】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确；故选：D 考向二 直观图 【例2-1】如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以． 因为，所以，，所以． 还原直观图得到，如图所示．    因为，，所以． 故选：B 【例2-2】如图，已知的平面直观图是等腰直角，且，，则的面积是（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为是等腰直角三角形，， 所以，且，， ，所以原平面图形的面积是. 故选：A． 【例2-3】如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ，所以周长为．故选：A． 【变式】 1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ）    A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【解析】将直观图还原为原图，如图，    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 故选：D 2．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 3．如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：B 4. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，， ，，将直观图还原后如图， 则，，. 故选：A. 5．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】 设四边形交轴与， 由，则，则， 原图，且，所以平面四边形是平行四边形， 则原图面积， 故选：D． 考向三 多面体的表面积 【例3-1】．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【解析】如图，在长方体中，连接，， 因为，，， 所以， 所以， 所以该长方体的表面积 . 故选：D. 【例3-2】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 【例3-3】一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】   由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 【例3-4】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为. 故选:B. 【变式】 1．已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 2．已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C. 3．已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【答案】D 【解析】由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5， 所以侧面积为． 故选：D. 4．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 【答案】C 【解析】如图，过作平面，作，连接， 根据题意得，，所以， 所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形， 所以侧面积为. 故选：.    6．已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设在正四棱台中，取侧面， 则，，，如下图所示： 分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、， 因为，，， 所以，，， 因为，，，故四边形为矩形，故， 所以，，， 因此，该四棱台的表面积为. 故选：C. 考向四 旋转体的表面积 【例4-1】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选：D. 【例4-2】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 【例4-3】已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为侧面展开图的圆心角为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以，则. 故选：D 【例4-4】已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线为，则由题意有：， 所以圆台的表面积为：，故选：B. 【变式】 1．已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的高为，则，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：D 2．圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（  ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知圆柱的底面直径和高均为2，所以圆柱的底面周长为， 故圆柱的侧面积为. 故选：D. 3．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【解析】圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形， 由勾股定理可知， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 4．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径，母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故选：C 5．已知圆台的上底面面积为9π，下底面周长为16π，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A．99π B．42π C．54π D．66π 【答案】D 【解析】设圆台的上下底面圆的半径分别为， 由题意，，解得， 则圆台的侧面积为. 故选：D. 6．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆台较小底面的半径为，因为一个底面周长是另一个底面周长的倍，根据，可知较大圆半径 已知母线长为，圆台的侧面积为，则根据圆台侧面积公式为可得： 故选：A. 考向五 多面体的体积 【例5-1】直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 【例5-2】已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为斜高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍， 所以，解得， 所以此正四棱锥的体积为, 故选：C. 【例5-3】已知正三棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为（    ） A． B．63 C． D．21 【答案】C 【解析】如图所示，，分别是上，下底面的中心，连接，，， 在平面内作于， 因为正三棱台的上底边长为，下底边长为， 所以上底面面积为， 上底面三角形外接圆半径为， 下底面面积为， 下底面三角形外接圆半径为， 于是该正三棱台的高为， 因此该正三棱台的体积为， 故选：C 【变式】 1．已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 2．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【解析】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知可得：，可得，再由可得， 所以正四棱锥的体积为：， 故选：C. 4．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（   ） A．3 B．7 C．9 D．21 【答案】B 【解析】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 【答案】B 【解析】正四棱台补成正四棱锥，如图所示： 因为，可知为相应棱的中点， 则，可得， 所以该棱台的体积. 故选：B. 考向六 旋转体的体积 【例6-1】已知圆柱的高为9，底面周长为，则圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】设底面圆的半径为，则，解得，所以圆柱的体积. 故答案为：. 【例6-2】已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设底面半径为，高为，母线长为，由题意可得：，解得， 则，所以该圆锥的体积为. 故选：A. 【例6-3】已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 【变式】 1．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 . 【答案】2 【解析】设圆柱的高为，依题意，，所以.故答案为：2 2．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为， 则高为，则. 故选：A. 3．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，圆台的高为， 故圆台的体积为. 故选：D. 4．已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱、圆锥的底面半径为，高为2，则， 所以，故圆锥的体积为. 故选：C 考向七 外接球与内切球 【例7-1】已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，因为，解得：.故选：A 【例7-2】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】长方体的外接球的半径.则接球表面积为. 故选：B. 【例7-3】在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则，所以，所以球的表面积为. 故选：B． 【例7-4】．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 【例7-5】已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设为等边三角形的中心，连接，则平面， 且正三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球的半径为，连接，， ∵为等边三角形且其面积为， ∴，∴，∴， 又∵，∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， ∴球的表面积为， 故答案为：. 【变式】 1．已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 【答案】 【解析】①球的半径为，则它的表面积为， 故答案为：； ②球的半径为，则它的体积为， 故答案为：， 2．设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，不妨设， 正方体外接球的半径为， 则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知： ，即； 所以外接球的表面积为：． 则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：． 4．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】 【解析】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为 【答案】 【解析】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 6．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2，所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等，在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为.故答案为：． 7．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为 . 【答案】 【解析】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径，设外接球半径为，则， 所以外接球的体积为.故答案为：. 题组一 空间几何体的辨析 1．下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【答案】D 【解析】 如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面. 故选：D. 2．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为. 故选：A. 3．下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】B 【解析】对于A，有可能是空间四边形，故A错误； 对于B，棱锥的底面边数决定其类型，故B正确； 对于C，可举如下反例（如图），故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆台和一个圆锥，故D错误． 故选：B． 4．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 对③如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，错误； 对于④，根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，错误. 故选：A 5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（   ） A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【答案】B 【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．故选：B． 6．下面图形中，不是棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，AB是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥． 故选：C 7．以下说法正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【答案】B 【解析】对于A：长方体不仅需要各侧面为矩形，上下底面也要为矩形，故A错误； 对于B：有两个相邻侧面是矩形说明侧棱垂直于底面，是直棱柱，故B正确； 对于C：正棱锥不仅要求底面是正多边形，还需要侧面为全等三角形，故C错误； 对于D：正四棱柱是上下底面为正方边形的长方体，底面需要是正方形，而底面四边相等可能是菱形，故D错误. 故选：B 8．下列命题不正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】A 【解析】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：A. 9．下列选项中，正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确． 故选：D 题组二 直观图 1．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形， 且，， 故原图的面积为：， 故选：A. 3．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【解析】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A 4．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方形的面积为，所以原图面积为：. 故选：D. 5．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，所以，即， 则，所以. 故选：A. 6．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【解析】由题意可知：矩形的面积为， 所以原四边形的面积为. 故选：B. 7．已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 【答案】C V在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 由直观图可知，，. 在平面图中，，所以根据勾股定理. 故选：C. 8．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 故选：D. 9．如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（   ）    A．8 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题设， 由. 故选：C 10．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B 题组三 多面体的表面积 1．已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为，则正三角形面的面积，所以 故选：C 2．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【解析】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以，所以， 底面积，侧面积为，表面积．故选：D． 3．已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 4．已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】四面体的棱长都等于2，那么它的表面积为. 故选：D. 5．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 6．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正棱台补全为正三棱锥，为底面中心， ，，则， 棱台的高，棱台上底面是正三棱锥的中截面， ，等腰高为， 面积为，等腰梯形的面积为， 所以该三棱台的侧面积为. 故选：D 7．已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作， 则，，，所以， 在侧面中，，，，过点作，则， 所以， 所以，所以； 故选：C 题组四 旋转体的表面积 1．已知圆柱的侧面展开图是长为，宽为的矩形，则圆柱的侧面积为（    ）. A．10 B．20 C．18 D．9 【答案】B 【解析】因为圆柱的侧面展开图是长为，宽为的矩形，所以圆柱的侧面积为. 故选：B 2．以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 【答案】C 【解析】若以长为8cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为6cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 若以宽为6cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为8cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 故选：C 3．如图所示，以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体可以看成圆柱与圆锥的组合体， 则圆柱的一个底面积加侧面积为：，， 圆锥的侧面积为：，故该几何体的表面积为：. 故选：C 4．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：. 故选：B. 5．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（    ）. A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，可得， 圆锥的表面积为，，可得. 故选：A. 6．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，解得， 所以圆锥的底面半径，圆锥的母线， 这个圆锥的表面积是：. 故选：C． 7．已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（   ） A．5π B．4π C．3π D．2π 【答案】C 【解析】因为圆锥的母线长为2，高为， 所以该圆锥的底面半径为， 则圆锥的全面积为. 故选：C. 8．已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆锥的底面直径为2，即底面半径为， 设母线长为，则，则， 所以该圆锥的表面积为. 故选：B. 9．已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（    ） A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【解析】由题意，圆锥的底面圆半径是，则底面圆周长是， 且侧面展开图的半径为，弧长为的扇形， 根据扇形面积公式，面积为：. 故选：D 10．如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，圆锥底面半径为2，则底面周长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B. 11．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵圆台的上、下底面面积分别为和， ∴圆台的上、下底面半径分别为6和7，又圆台的母线长5， ∴圆台的表面积为. 故选：B． 12．已知圆台的上底面面积为，下底面周长为，母线长为6，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知圆台的上底面面积为，下底面周长为，则圆台的上底面半径为，下底面半径为， 故所求为. 故选：C. 13．若圆台的高为2，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，则圆台的侧面积为（ ） A．12 B． C．16 D．24 【答案】B 【解析】   如图，过点作平行线交于，由题知，则，得. 故圆台的侧面积. 故选：B. 14．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 题组五 多面体的体积 1．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点， 由已知可得，所以， 又，所以， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 2．已知正四面体的表面积为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四面体的棱长为， 则该正四面体的表面积为，可得， 将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为， 因此正四面体的体积为. 故选：B. 3．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，平面， 且该正方体的棱长为，则， 故，即三棱锥的体积是. 故选：B. 4．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 故选：C 7．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为5，高为3，则该正四棱台的体积为（    ） A．39 B．29 C．35 D．25 【答案】A 【解析】因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为5，高为3， 所以该正四棱台的体积. 故选：A 8．如图，在直三棱柱中，，，，则直三棱柱的体积为 ． 【答案】1 【解析】直三棱柱的体积为. 故答案为：. 9．如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为 . 【答案】 【解析】设正方体棱长为，则，. 所以四棱锥的体积与正方体体积的比为. 故答案为：. 10．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．    【答案】 【解析】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 11．已知四面体的三组对棱相等，依次为，，5，则该四面体的体积为 ． 【答案】8 【解析】如图，把四面体补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为． 易知，，， 联立以上三式，解得，，． 故． 故答案为：8. 12．一个正三棱锥的高是3 ，底面的边长是2 ，这个正三棱锥的体积为 【答案】 【解析】因为正三棱锥的底面是正三角形，边长为2， 所以三角形面积为. 已知正三棱锥的高为3，所以这个正三棱锥的体积为. 故答案为：. 题组六 旋转体的体积 1．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为，，，已知底面周长，解得；侧面积，代入可得到母线长；由勾股定理可得高；则体积. 故选： 2．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取上下底面的圆心，则即为圆台的高，如图所示， 在中，， 根据勾股定理可得. 所以圆台的体积为. 故选：A. 3．某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选：C. 4．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为，，母线长为，高为， 由圆台的上、下底面面积分别为和，得，所以，， 由圆台侧面积公式可得，所以， 所以， 所以该圆台的体积 . 故选：A 5．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为元，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记圆台上下底半径分别为，母线长为，高为， 则侧面积为，， 所以高为， 体积为， 故选：B． 5．若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（   ） A． B．3π C． D．π 【答案】D 【解析】设圆锥侧面展开图的弧长为，圆锥的底面圆的半径为， 则，可得， 所以，可得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：. 6．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 题组七 外接球与内切球 1．已知球的半径为2，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】球的半径为2，则该球的体积为, 故选：B 2．棱长为2的正方体的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】棱长为2的正方体的内切球半径为，所以内切球的体积为. 故选：C. 3．已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为，正方体的棱长为， 因为球的体积为，所以，解得， 因为正方体的顶点都在球面上，所以，所以. 故选：C. 4．已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【解析】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：C 5．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将正四面体放在正方体中如图所示， 正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为， 由于，即， 所以正方体的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 6．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为，那么其内切球的半径，外接球的半径（对角线的一半），与各棱都相切的球的半径（面对角线的一半），所以比值是，故选C． 7．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为； 故选：B. 8．已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 如图，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球， 所以体对角线的长为其外接球的直径，解得， 则， 故选：C． 9．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵圆心角为，半径为3，∴扇形的弧长为， ∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为，底面半径，圆锥的高， 易知圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设球的半径为， 则，解得． ∴外接球的表面积为． 故选：D 10．长宽高分别为1，，2的长方体的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】设外接球的直径，即长方体的体对角线长为，外接球半径为，则长宽高分别为1，，2的长方体的外接球表面积为 故答案为： 11．已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于 . 【答案】 【解析】因为长方体中，，，， 且长方体的外接球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以外接球的表面积为 ， 故答案为： 12．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    13．已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为三棱锥的三条棱，，两两垂直，且， 可得把三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球， 设三棱锥 的外接球的半径为，则，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14．已知正四棱锥的体积为2，底面边长为，则该正四棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【解析】因为正四棱锥的体积为2，底面边长为， 所以有，所以棱锥的高， 由题意得，正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 记球心为，则，，， 在直角中，， 解得，外接球的体积为. 故答案为：. 15．三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体， 则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为， 所以， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $