第16讲 平面向量-2026年广东春季高考数学复习讲义

第16讲 平面向量 考向一 向量概念的辨析 【例1-1】下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解析】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【例1-2】下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】质量、密度、功是标量，不是向量；速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个.故选：A 【变式】 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；速度，重力既有大小又有方向，是向量，故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【解析】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 3．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解析】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 考向二 单位向量、零向量与共线向量 【例2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【例2-2】下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解析】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 【例2-3】下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 【变式】 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 2．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【解析】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C. 3．以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【解析】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 4．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 考向三 向量的加法与减法 【例3-1】化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【例3-2】如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 【例3-3】．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由.故选：D 【例3-4】下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式】 1．下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，故A正确；，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 故选：C. 2．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，.故选：A 4．下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以，为临边作平行四边形， 则，，，， 所以与相等的是. 故选：C 5．化简: （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 6．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 考向四 向量的数量积 【例4-1】若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】.故选：A. 【例4-2】若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由向量，是夹角为，且，为单位向量，可得，且， 因为与垂直，可得， 即，解得.故选：A. 【例4-3】设向量，满足且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与的夹角为，由题意得，所以. 又，所以，所以，即.又，所以与的夹角为. 故选：A 【例4-4】已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】/ 【解析】在上的数量投影为1，则，即， 故，即，所以，又，所以. 故答案为： 【例4-5】已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为． 【变式】 1．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以由，得， 因为，所以.故选：A. 2．已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】在上的投影的数量为．故选：B. 3．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 4．已知向量，的夹角为，，且，若，则 . 【答案】 【解析】因为向量，的夹角为，，且， 可得，得， 又因为，所以，解得. 故答案为：. 5．已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由，得，即， 向量在向量上的投影向量是； （2）由； （3），          所以. 考向五 向量的共线定理 【例5-1】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】因为与共线，所以，解得：，故选：A 【例5-2】已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】由题意，设，则，则，解得. 故选：B. 【例5-3】．已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【解析】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 【变式】 1．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，不共线，所以，又向量与共线， 所以，使，则，解得或2.故选：C. 2．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【解析】与反向共线，则存在实数k使（），于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故.答案：B 3．已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即，，. 故选：A. 4．已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解析】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 5．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解析】对A，，所以，则三点共线，A正确； 对B，，, 则不存在任何，使得，所以不共线，B错误；对C，， 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；对D，， 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 考向六 向量的基本定理 【例6-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知，.故选：C. 【例6-2】如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 【例6-3】在中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【变式】 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以. 故选：D. 2．如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点是的中点，， ． 故选：D． 3．在中，为上靠近点的三等分点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 4．在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 5．在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 6．在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示， . 故选：D 7．四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 考向七 向量的坐标运算 【例7-1】在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. 故选：A. 【例7-2】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 故选：C 【例7-3】已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以.所以. 故选：B. 【例7-4】已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 【例7-5】已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 【例7-6】已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则 . 【答案】3或 【解析】在上的投影向量的模为，解得或. 故答案为：3或 【变式】 1．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 2．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 3．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又，与共线， 所以，所以，故选：C. 4．已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 由与垂直可得，解得． 故选：C． 5．已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，则， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 题组一 向量概念的辨析 1．下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A 【解析】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 2．以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【解析】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 4．下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 题组二 单位向量与零向量 1．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【解析】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 3．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 4．下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 5．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 6．下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】B 【解析】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错； 对于B选项，向量与向量的模相等，B对； 对于C选项，若，则无意义，C错； 对于D选项，零向量的方向任意，D错. 故选：B. 7．下列命题中假命题是（    ） A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确； 对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确； 对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确； 对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误. 故选：D. 8．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 9．下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【解析】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 10．关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 11．下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确. 故选：C. 12．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【解析】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 13．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 14．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【答案】C 【解析】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误； 对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误； 对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误. 故选：C 题组三 向量的加法与减法 1．（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平面四边形ABCD中，＋，所以＋＋， 故选：A 3．设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   如图所示，易知点为，，的中点， 所以，，， 所以， 故选：D. 4．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故A错误；因为，故B错误； 因为，故C错误；根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 5．（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 6．如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 7．化简（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 8．化简： ； ． 【答案】 【解析】  ，． 故答案为： 9．化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)；(3)(4)(5)(6) 【解析】1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 题组四 向量的数量积 1．已知非零向量满足，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量在向量上的投影向量为，得. 由得， 又，则， 因为是非零向量，故，解得. 故选：C. 2．已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 3．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 4．已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 5．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【解析】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 6．已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影向量为，根据向量投影向量的公式，， 又是单位向量，，即代入上式，得, 继续化简得， 又是两个单位向量，，. 故选：. 7．已知向量，满足，，，若，则为（   ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【解析】因为，则，即， 又，，，所以，解得. 故选：C. 8．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 9．已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由，得，所以， 所以． 故选：C． 10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与的夹角为，∵，∴，∴，∴， 又，∴，∵，∴．故选：D． 11．已知两个单位向量满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知：，， 所以. 故选：A． 12．是非零向量，与的夹角为，，则为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为，则，又，与的夹角为， 则，解得或（舍）， 故选：D. 13．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 且，则向量的夹角为. 故选：D. 14．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 15．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 16．已知非零向量满足，则与的夹角大小为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 得，且，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以．故答案为：. 题组五 向量的共线定理 1．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 2．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意知，即，解得， 故选：B. 3．，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解，所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意；对于C，， 设，则存在唯一实数，使得，所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得，所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意.故选：B. 4．已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 5．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时， 故选：B 6．已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，且三点共线，故， 故， 故选：C 7．已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，不共线，， 所以存在使得， 则，解得. 故选：D. 8．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，为不共线向量，且，为共线向量， 所以，而，， 则， 故，解得，故D正确. 故选：D. 9．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3 【解析】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 10．已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 【答案】-2 【解析】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 题组六 向量的基本定理 1．设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知. 故选：B. 2．如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：. 故选：C 3．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 由题意得. 故选：C. 4．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，所以．    故选：A. 5．如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知，. 故选：D. 6．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为三点共线， 所以设，又，所以， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 7．在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 其中， 故． 故选：B． 8．如图，在中，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， . 故选：A. 9．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，而， 所以. 故选：A. 10．设D为所在平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C. 11．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 12．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 故. 故选：A 题组七 向量的坐标运算 1．已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，. 因为，所以，解得. 故选：B 3．已知向量，且，则实数的值是（ ）. A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由，则有，解得. 故选：A 4．已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【解析】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 5．已知向量，，若，则等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，且，所以，解得，即， 所以.所以，故选：C. 6．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 7．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 8．已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 9．已知向量，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，所以，即， 则，故选：A． 10．已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【解析】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 11．已知向量，且，则（    ） A．或 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，且， 所以，即，解得或． 故选：A． 12．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B 13．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，即，解得. 故选：A. 14．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】，，， 又，所以， 即，解得． 故选：D． 15．已知平面向量，若，则实数 . 【答案】7 【解析】因为平面向量， 所以，又因为， 所以， 则实数. 故答案为：7. 16．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】/0.5 【解析】， 向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，故，解得. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 平面向量 考向一 向量概念的辨析 【例1-1】下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【例1-2】下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式】 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2．下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 3．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 考向二 单位向量、零向量与共线向量 【例2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-2】下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【例2-3】下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式】 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 3．以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 4．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 考向三 向量的加法与减法 【例3-1】化简等于（   ） A． B． C． D． 【例3-2】如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【例3-3】．（   ） A． B． C． D． 【例3-4】下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简：（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．化简: （    ） A． B． C． D． 6．化简（   ） A． B． C． D． 考向四 向量的数量积 【例4-1】若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【例4-2】若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【例4-3】设向量，满足且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例4-4】已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【例4-5】已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为 【变式】 1．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 3．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，的夹角为，，且，若，则 . 5．已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 考向五 向量的共线定理 【例5-1】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【例5-2】已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【例5-3】．已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【变式】 1．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 2．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 3．已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 5．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 考向六 向量的基本定理 【例6-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例6-2】如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例6-3】在中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，为上靠近点的三等分点，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 7．四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考向七 向量的坐标运算 【例7-1】在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【例7-2】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【例7-3】已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【例7-4】已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【例7-5】已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例7-6】已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则 . 【变式】 1．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 题组一 向量概念的辨析 1．下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 2．以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 题组二 单位向量与零向量 1．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 3．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 4．下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 5．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 6．下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 7．下列命题中假命题是（    ） A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 D．共线的单位向量都相等 8．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 9．下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 10．关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 12．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 13．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 14．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 题组三 向量的加法与减法 1．（    ） A．0 B． C． D． 2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 3．设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B．0 C． D． 6．如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 7．化简（    ） A． B．0 C． D． 8．化简： ； ． 9．化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 题组四 向量的数量积 1．已知非零向量满足，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 6．已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，，若，则为（   ） A． B． C．6 D．2 8．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 9．已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 11．已知两个单位向量满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．是非零向量，与的夹角为，，则为（    ） A．1 B． C．2 D． 13．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 14．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．已知非零向量满足，则与的夹角大小为 . 题组五 向量的共线定理 1．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 2．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 3．，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 4．已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 6．已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．3 B． C． D． 8．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 9．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 10．已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 题组六 向量的基本定理 1．设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，设，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．设D为所在平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 题组七 向量的坐标运算 1．已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，且，则实数的值是（ ）. A．1 B． C．4 D． 4．已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 5．已知向量，，若，则等于（    ） A．3 B． C． D． 6．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 7．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 8．已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．已知向量，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 11．已知向量，且，则（    ） A．或 B．3 C． D． 12．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 13．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 15．已知平面向量，若，则实数 . 16．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $