第二十四章 圆 （单元测试）2025-2026学年人教版（2024）数学九年级上册

第二十四章 圆 （单元测试） 姓名： 班级： 一、选择题 1．如图，在中，，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　） A．5cm B．12cm C．13cm D．8cm 3．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，是的直径，是弦，与相交于点E，且，，，则直径的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在等腰直角中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形．若点C恰好在弧上，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，，，的直径为，四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是(　　) A． B． C． D． 8．如图，点是的六等分点．若，的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 9．题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（　　） A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 10．如图，点是正方形的边上一点，将绕着顶点逆时针旋转，得，连接，若为的中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，AC，BC是的两条弦，是的中点，作，垂足为，若，，则　 　. 14．如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为　 　． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论 ①AC＝BD； ②AM＝BN； ③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB； ④若M为弧AN的中点，则D为OB中点． 所有正确结论的序号是 　 　． 16．如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为　 　. 17．如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则　 　，线段的最小值为　 　． 18．如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为　 　． 19．如图，以为圆心，半径为4的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，于F， （1）的长度为　 　 （2）当点E在圆G的运动过程中，线段的长度的最小值为　 　。 20．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM'，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM'的对称点C，画直线BC交OM'于点D，连接AC，AD，有下列结论： ①AD=CD； ②∠ACD的大小随着α的变化而变化； ③当α=30°时，四边形OADC为菱形； ④△ACD面积的最大值为a2； 其中正确的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）． 三、解答题 21．如图，在⊙O上依次有A，B，C三点，BO的延长线交⊙O于点E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，AD交⊙O于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连结OA，OF，OC，若∠AOF=3∠FOE且AF=3，求的长． 22．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形． 乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形……． 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，是正三角形，弧、弧、弧均相等，这样构造的六边形不是正六边形． （1）如图1，若圆内接五边形的各内角均相等，则 °，并简要说明圆内接五边形为正五边形的理由； （2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等； （3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）． 23．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”． （1）如图2，的横、纵坐标都是整数． ①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______； ②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ； （2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长． 参考答案 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 【分析】 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角相等、所对的弦相等，即知一可推二． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D， 连接OA， 如下图， ∵油漆桶的直径为26cm， ∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm. 故答案为：D . 【分析】本根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心， 故答案为：B. 【分析】根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，是的直径， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 即，解得：， ∴直径的长为． 故答案为：D． 【分析】根据垂径定理的推论得到，则，设的半径为，则，， 在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点H，交于点， ∵是等腰三角形，且，，， ∴， ∵点D为的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】连接，设交于点H，交于点，先根据证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后利用解题即可． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可 作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则 ， ，此时为最小值 连接， 平分，， ， 在中，， ， 阴影部分周长的最小值为． 故答案为：A． 【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：过点作交的延长线于，连接，如图所示： 四边形内接于，，， 为的直径，是等腰直角三角形， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：B． 【分析】 过点作交的延长线于，连接，先证明是等腰直角三角形，为直径，则，而得，证明是等腰直角三角形得，，然后证明和全等得，则，即可解答． 8．【答案】D 【解析】【解答】 解：设圆O的半径为r，连接P1O ∵点是的六等分点 ∴，，∠P1OP2=60° ∴ ∠P1P5P2=∠P2P5P3=∠P1P5P6=30°，∠P3P2P5=60°，∠P4=120° P1P6=P5P6=P2P3，P1P5=P3P5 ∴ 在Rt中，P2P5=2r， ∴ P2P3=r，P3P5=P1P5=， P1P6=P5P6=P2P3=r， ∴ 周长C1=(2+)r， 面积S1= 周长为C2=(3+)r，面积为S2= ∴ C1≠C2，C2≠2C1，S2=2S1 故答案为：D 【分析】本题考查圆的直径、弧、弦、圆周角、圆心角的关系，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，对应的弦也相等，直径所对的圆心角为直角。根据点是的六等分点可得，∠P1OP2=60°则 ∠P1P5P2=∠P2P5P3=∠P1P5P6=30°，∠P3P2P5=60°， ∠P4=120°， P2P5=2r，P1P6=P5P6=P2P3=r，P3P5=P1P5=，得 周长C1=(2+)r， 面积S1=；周长为C2=(3+)r，面积为S2=，据此做出判断C1≠C2，C2≠2C1，S2=2S1. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：，， ， 斜边上的高为：， 当时，图如图所示： ， 此时在圆内部，与只有一个交点， 当时，图如图所示： ， 此时与只有一个交点， 当时，如图所示： ， 此时与只有一个交点， 三人的答案合在一起才完整， 故答案为：D 【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。 10．【答案】D 【解析】【解答】解：连接交于点O，如图所示， ∵将绕着顶点A逆时针旋转，得， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 又∵点A、P、D、F在以为直径的圆上， ∴，即， ∴点P在正方形的对角线上， 假设， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴与重合，这与已知图形相矛盾， ∴与不平行，故选项A错误； 连接，如图所示： ∵将绕着顶点A逆时针旋转，得， ∴， ∴， ∴C、D、F在一条直线上， ∵， ∴当时，，即不一定等于，故选项B不正确； ∵P为的中点，， ∴， ∵， ∴点A、P、D、F在以为直径的圆上， ∴，即， 但无法证明，∴不成立，故C选项错误； ∵将绕着顶点A逆时针旋转，得， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形，故选项D正确； 故答案为：D． 【分析】利用反证法判定A，先确定点P在对角线上，利用旋转的性质和正方形的性质来证明线段与不平行，即可判断A．在直角中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”判断B；点A、P、D、F在以为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明，即可判断C；根据旋转的性质推即可得即可判断D。 11．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ， ， 故答案为：C． 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值；利用点A是半圆上的一个三等分点及轴对称的性质可求出∠AON、∠A'ON的度数，同时可证得PA=PA'，利用点是弧的中点，可求出∠BON的度数，即可求出∠A'ON=90°，利用勾股定理求出A'B的长，即可求出PA+PB的最小值. 12．【答案】C 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 如图，连接交于点，延长交于，此时EP'最大，最小 ， ， ，， 的最大值为6，最小值为4， ． 故答案为：． 【分析】连接交于点，延长交于，此时EP'最大，最小，先求出，，可得m的最大值为6，最小值为4，即可得到. 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM交AB于R， ∵，HM是直径， ∴HM⊥AB， ∵MF⊥AC， ∴∠ART=∠MFT=90°， ∵∠MTF=∠ATR， ∴∠CAB=∠FMT， ∴， ∴， ∵MH是直径， ∴∠MKH=90°， ∴∠MKH=∠MFT， ∴AC//KH， ∴∠CAK=∠AKH， ∴， ∴AH=CK， ∵∠HJA=∠KFC=90°，HJ=FK， ∴Rt△HJA≌Rt△KFC(HL)， ∴AJ=CF， ∵四边形KHJF是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM交AB于R.首先证明，再证明Rt△HJA≌Rt△KFC(HL)，推出AJ=CF，求出AJ即可解决问题. 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，连接，并延长交圆于点，即为最大值，再根据边之间的关系即可求出答案. 15．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN， 在Rt△OMC和Rt△OND中，， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴， 故②正确， ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确， 当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC， ∴OM=OC， ∴AB=2OM=OC=MN， 故③错误， 若M是的中点，连接BN，而 ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确． 故答案为：①②④． 【分析】先由矩形的判定证明四边形CMND是矩形，再由等边三角形的判定证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，由勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H ∵ ∴∠DEC=∠BAC=90° ∵FG＝CG ∴ ∵AE∥BC ∴∠HAG＝∠ACB＝30° ∴ ∵GH⊥AE ∴GH≤FG ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最大值为 故答案为： 【分析】取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H，根据圆周角定理可得∠DEC=∠BAC=90°，再根据直线平行性质可得∠HAG＝∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据垂直性质可得GH≤FG，再根据边之间的关系即可求出答案. 17．【答案】； 【解析】【解答】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点O作于Q，于J． ∵， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的上， ∴当点P落在线段上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴的最小值， 故答案为：，． 【分析】如图，在的上方，根据的度数联想到圆周角和作，使得，连接，过点O作于Q，于J．证明点P的运动轨迹是以O为圆心，，OB为半径的，推出当点P落在线段上时，的值最小，根据勾股定理和线段之间的比值，求出BE、AE、AQ、OQ的长度，得到三角形两直角边的长度，然后根据勾股定理得出，为半径长度2，作差可得结论． 18．【答案】 【解析】【解答】解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【分析】连接，延长到，使，连接，则，利用三角形的内心和三角形内角和定理得到，即可得到，然后推理得到，即可得到∠E=90°，在中，求出，，进而利用勾股定理得到CD长，解题即可． 19．【答案】（1） （2） 【解析】【解答】解：（1）连接AG， 因为， ，半径为4， 所以OG=2，AG=4， 所以弧AC的长度为 故答案为： （2）连接AC，过点G作于M， 由（1）得因为所以所以因为所以点M在以AC为直径的圆M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM-MG= 故答案为： 【分析】(1)连接AG，由已知和直角三角形中30度所对的边是斜边的一半求出弧AC所对的圆心角，代入公式即可计算： （2）连接AC，过点G作于M，由（1）推出MG，再根据点M在以AC为直径的圆M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，计算即可. 20．【答案】①③④ 【解析】【解答】①∵A、C关于直线OM'对称， ∴OM'是AC的垂直平分线， ∴CD=AD，故①正确； ②连接OC， 由①知：OM'是AC的垂直平分线， ∴OC=OA， ∴OA=OB=OC， 以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE， 则A、B、C都在⊙O上， ∵∠MON=120°， ∴∠BOE=60°， ∵OB=OE， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠E=60°， ∵A、C、B、E四点共圆， ∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确； ③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°， ∴∠AOC=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC=60°，OC=OA=AC， 由①得：CD=AD， ∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=CD， ∴OC=OA=AD=CD， ∴四边形OADC为菱形，故③正确； ④∵CD=AD，∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形， 当AC最大时，△ACD的面积最大， ∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°， ∴△ACD面积的最大值是：AC2=，故④正确， 所以本题结论正确的有：①③④， 故答案为①③④． 【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断； ②以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化； ③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断； ④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断． 21．【答案】（1）证明：∵，∴∠CBD=∠ABD． ∵CD∥AB，∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD． ∵BE是⊙O的直径，∴，∴AB=BC=CD． ∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形 （2）解：∵∠AOF=3∠FOE， 设∠FOE=x，则∠AOF=3x， ∠AOE=∠FOE+∠AOF=4x． ∵OA=OF，∴∠0AF=∠OFA=(180°-3x)． ∵OA=OB，∴∠OAB=4ZOBA=2x，∴∠ABC=4x． 由(1)可得出BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴4x+2x+(180°-3x)=180°，∴x=20°， ∴∠AOF=3x=60°，∠AOE=80°， ∴∠COF=80°×2-60°=100°． 又∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形， ∴OF=AF=3，∴的长为= 【解析】【分析】(1)先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论； (2)先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论. 22．【答案】（1）108．理由如下：如图1， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴五边形是正五边形. （2）证明：如图2， ∵是正三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 同理可得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， 故图2中六边形各角相等； （3）由（1）、（2）可提出以下猜想： 当n（，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形； 当n（，n为整数）是偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形． 【解析】【解答】解：（1）∵五边形的内角和， ∴． 故答案为：108． 【分析】 （1）根据n边形的内角和等于（n-2）×180°可求出五边形的内角和，再用内角和除以变数5可得的度数，根据“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等”可得五边形的各边都相等，然后由正多边形的定义“各边相等、各角也相等的多边形是正多边形”可判断求解； （2）由是正三角形可得，根据圆内接四边形的性质可得均为，由可得，即可求出，同理可得，问题可求解； （3）根据对（1）、（2）的探索积累的经验可求解． 23．【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝ 【解析】【解答】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意； 故答案为：A1B1； ②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”； 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1，0）时，m=3， 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1，0）时，m=2， 故答案为：2或3． （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小； 当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（4，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=，即； 当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（2，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=；即 综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝． 故答案为：b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝. 【分析】 （1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可； （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $