精品解析：内蒙古呼和浩特市启秀中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级数学 满分100分 限时60分钟 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 5，6，12 C. 5，7，2 D. 6，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为5，6，12的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，7，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为6，8，9的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 3. 如图，点E，点F在 BC上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，可证明，A选项可利用证明，B 选项可利用证明，C选项可利用证明，D选项不能利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合条件，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合条件，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合条件，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合条件，不可利用证明，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45° 则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键． 5. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ） A. 在、两边高线的交点处 B. 在、两内角平分线的交点处 C. 在、两边中线的交点处 D. 在、两边垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择． 【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键． 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 7. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 8. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交AD于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键． 根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得，再运用等量代换即可判断②；先说明，再结合角平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可计算即可解答． 【详解】解：∵是中线， ， ∴的面积等于的面积，即①正确； ∵ ，是高， ∴ ， ∵是角平分线， ∴ ， ， 又 ， ∴ ，故②正确；    ，  ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，解得：．故④正确． 综上，正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 三．解答题（共6小题，共60分） 13. 如图，在中， （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） （2）若，求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 14. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 15. 【综合与实践】八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动．测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外的地面选定一点C； ②测量的度数； ③ 测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面（B，C，D共线）； ⑤测量的度数 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算体育馆高度． 【答案】体育馆高度为． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理推出，进而根据两角夹边相等证明，由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，，，， ， 在和中， ， ， ． 答：体育馆高度为． 16. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 满分100分 限时60分钟 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 5，6，12 C. 5，7，2 D. 6，8，9 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点E，点F在 BC上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ） A. 在、两边高线的交点处 B. 在、两内角平分线的交点处 C. 在、两边中线的交点处 D. 在、两边垂直平分线的交点处 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交AD于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 11. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 12. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 三．解答题（共6小题，共60分） 13. 如图，在中， （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） （2）若，求的面积． 14. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 15. 【综合与实践】八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动．测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外的地面选定一点C； ②测量的度数； ③ 测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面（B，C，D共线）； ⑤测量的度数 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算体育馆高度． 16. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $