精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级第一阶段大练习数学试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式，熟知定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，则此项不符合题意； B、中的不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元二次方程，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 4. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 3，-4，-7 B. 3，-4，7 C. 3，4，7 D. 3，4，-7 【答案】A 【解析】 【分析】找出所求的系数及常数项即可． 【详解】一元二次方程3x2﹣4x﹣7=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣4，﹣7． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册，这两年的平均增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设这两年的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这两年的年平均增长率为， 根据题意列方程得， 即， 解得，（负值舍去）， 即：． 答：这两年的年平均增长率为． 故选：C． 7. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； B、，故四条线段是成比例线段，符合题意； C、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； D、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例”． 利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 比较大小：______0（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，无理数的估算，先估算出，即可得出答案，估算出无理数的大小是解此题的关键． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 10. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知条件设，，再代入求出答案即可． 【详解】解：设，， 所以． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到一元二次方程根的判别式Δ＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵a＝1，b＝－5，c＝2k， ∴(－5)2﹣4×1×2k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 13. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】将阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600平方米列出方程即可． 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为（或）． 故答案为：（或）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平移的知识得到种植面积的形状，进而得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 14. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可判断①，根据相似三角形的性质即可判断②③④． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故①符合题意； ∴，，故②符合题意，③不符合题意； ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和减法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得，． 17. 如图，已知，如果，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由平行线分线段成比例定理得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质. 根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，已知，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． (1)根据三角形内角和定理计算，根据，得到即可． (2) 根据，得 ，求得的长即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 20. 图①，②，③均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中， ______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使，相似比为______． 【答案】（1） （2） ①点P即为所要找的点； ②点P即为所要找的点． 相似比为 【解析】 【分析】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． （1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使，证明，求出相似比即可． 【小问1详解】 解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A关于的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点P即为所要找的点． ∵， ∴相似比为， 故答案为： 21. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚ABCD，一边AD靠墙MN，另三边的总长为60米．设AB的长为x米． （1）BC＝______米，车棚的面积是______平方米．（用含x的代数式表示） （2）若墙MN长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米． （3）车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）车棚面积不能为460平方米，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用60减去、的长即可得的长，再根据矩形的面积公式即可得； （2）根据矩形车棚的面积为400平方米建立方程，解方程可得的值，再根据墙长为30米可得的取值范围，由此即可得； （3）假设车棚面积能为460平方米，根据矩形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，米， 米， 米， 米， 车棚的面积是（平方米）， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 墙长为30米， ， 解得， 则当时，矩形车棚的面积为400平方米． 【小问3详解】 解：假设车棚面积能为460平方米， 则，即， 此方程根的判别式为，方程无实数根， 所以假设不成立，车棚面积不能为460平方米． 【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用、以及根的判别式，理解题意，正确建立方程是解题关键． 22. 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm， 根据题意，得x·2x＝288. 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12， 所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m) 答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？. 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？ (2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2）＝2. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可; （2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质. 【详解】解　(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为xm，则长为2xm. 则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m. ∵＝＝2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1； (2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 就要＝，即＝， 即＝， 即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)， ∴a＋c＝2(b＋d)， ＝2. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 23. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______． （2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）； （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯涨价多少元？ （4）每个水杯涨价______元时，当月获得的利润最大，最大利润是______元． 【答案】（1）550，8250 （2） （3）每个水杯涨价10元 （4）25，12250 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，理解题意列出一元二次方程和函数关系式，是解题的关键． （1）根据题意，当每个水杯的售价为45元时月销量就减少个，进而求得平均每月售出的水杯个数，根据销售量乘以利润即可求得月销售利润； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可； （4）设当月获得的利润为w元，每个水杯售价上涨x元，列出函数关系式，根据二次函数的性质，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：依题意，（个）； （元）； 故答案为：550；8250； 【小问2详解】 解：依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设每个水杯售价上涨x元，根据题意得： ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ∴， 答：每个水杯的涨价10元． 【小问4详解】 解：设当月获得的利润为w元，每个水杯售价上涨x元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为12250， 即每个水杯涨价25元时，当月获得的利润最大，最大利润是12250元， 故答案为：25；12250． 24. 如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． （1）经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； （2） ______；（用含t的代数式表示） （3）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ （4）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 【答案】（1）6，4 （2） （3）经过2或4秒钟后，的面积为 （4）经过2或8秒钟后，的面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解； （4）分三种情况：当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时；当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时；根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：经过秒后，点P运动到B点； 经过秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴； 故答案为： 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或4， 即经过2或4秒钟后，的面积为； 【小问4详解】 解：根据题意得：点P到达终点的时间为秒，点Q到达终点的时间为秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：（舍去）或8； 综上所述，经过2或8秒钟后，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一阶段大练习数学试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 3，-4，-7 B. 3，-4，7 C. 3，4，7 D. 3，4，-7 5. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册，这两年的平均增长率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 8. 如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 比较大小：______0（填“”，“”或“”）． 10. 已知，则的值为______． 11. 若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 13. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____． 14. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，已知，如果，求的长． 18. 如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 19. 如图，已知，． （1）求的度数； （2）求的长． 20. 图①，②，③均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中， ______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使，相似比为______． 21. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚ABCD，一边AD靠墙MN，另三边的总长为60米．设AB的长为x米． （1）BC＝______米，车棚的面积是______平方米．（用含x的代数式表示） （2）若墙MN长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米． （3）车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由． 22. 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm， 根据题意，得x·2x＝288. 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12， 所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m) 答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？. 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？ (2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 23. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______． （2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）； （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯涨价多少元？ （4）每个水杯涨价______元时，当月获得的利润最大，最大利润是______元． 24. 如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． （1）经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； （2） ______；（用含t的代数式表示） （3）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ （4）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $