第二章 实数 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（北师大版2024）

null2.解：因为点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角 边，有两种情况： ①MN为斜边时，有AM+BN2=MN2, 设BN=x,则5+x=(1-x)户，解得x=号， ②BN为斜边时，有BN2=AM+MN2, 设BN=x,则x2=5十(？-x)°，解得x=. 综上所述，BN的长为号安号 1探索勾股定理(2) 解：(1)如图所示，连接BP. 在Rt△ABC中，AB=10cm,BC=6cm, A 由勾股定理，得AC2=AB2一BC,即 AC2=102-62=64=82,所以AC=8cm, 则PC=8-PA. P 由勾股定理，得PB2=PC2+BC2, 当PA=PB时，PA2=(8-PA)2+62, 每得PA-=5则：空÷4得 16 所以存在点P,使得PA=PB,此时：的值为器 (2)因为∠C=90°，AC=8cm,CP=(4t-8)cm, 所以△ACP的面积=AC,CP=号X8X-8)=16, 解得t=3. 2 一定是直角三角形吗(1) 1解：因为u>6>c,8+e=+(层》广=1+最=完 。=(传)广=吕，所以6+e≠a 所以由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形. (2)因为m>n>0,所以m2十n2>2mn,m2十n2>m2-n2. 因为a2+c2=(m2-n2)2+(2mn)2=m-2m2n2十n4十 4m2n2=m4+2m2n2+n, b2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,所以a2十c2=b2. 所以由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. 2.解：如图所示，连接AC. 因为∠D=90°， 所以AC2=AD2+CD2=82+62=100=102, 所以AC=10米. 又因为AC2十BC2=676,AB2= D 262=676, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形， 所以Sm=S6-Sm=号×(24×10-6×8)- 96(平方米). 故这块地的面积是96平方米. 2一定是直角三角形吗(2) 1.解：因为S=2(9)°=45x5,=7x·()=8,S, 2(）=12.5x, 所以AC2=36,BC2=64,AB2=100, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC一定是直角三角形. 2.解：(1)因为AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm, 所以AB2+BC2=252=AC2, 所以△ABC是直角三角形且∠B=90°. (2)运动2s时，AP=1×2=2(cm),BQ=2X6=12(cm), 所以BP=AB-AP=7-2=5(cm): 在Rt△BPQ中，由勾股定理，得PQ=13cm, 即P,Q两点之间的距离为13cm. 3勾股定理的应用(1) 解：(1)根据题意，得∠ACB=90°，AC=30m,AB=50m, 根据勾股定理，易得BC=40m. 答：BC的长为40m. (2)这辆小汽车超速了.理由如下： 因为该小汽车的速度为40÷2=20(m/s)=72(km/h)> 70 km/h, 所以这辆小汽车超速了. 3 勾股定理的应用(2) 解：(1)如图所示，将圆柱的侧面展开后， 该侧面是长方形，AC=30cm,高是40cm,则 BA=40cm,所以BC2=AC2+AB2=2500, 所以BC=50cm,故绕行一圈的路程为 50cm. (2)因为底面圆的周长为80cm,即AC=80cm, 绕一圈爬行100cm,则BC=100cm, 所以AB2=1002-802=3600,所以AB=60cm,所以树干高= 60X10=600(cm)=6(m),故树干的高为6m. 第二章 实数 1 认识实数 1.1-5 2.解：正数集合：{50%，2.12,3.1010010001…（相邻两个1之间 0的个数逐次加1D,受，-(-)…： 分数集合：-4.2,50%，- -2.2(）: 负有理数集合：-42-号引，… 无理数集合：{3.1010010001（相邻两个1之间0的个数 逐次加1)2， 2平方根与立方根(1) 1.解：(1)（士15）2=225， 225的平方根为士15，算术平方根为15. a(±8》-4 器的平方根为士品算术平方根为品 (3)(±0.9)2=0.81， 0.81的平方根为士0.9，算术平方根为0.9. (4)(-4)2=16,(士4)2=16， (一4)2的平方根为士4，算术平方根为4. 2.解：根据题意，得3x一2+x+6=0,解得x=一1， 则(x+6)2=(一1+6)2=25，所以这个数为25. 2平方根与立方根(2) 1.解：(1)(x-1)3=27, 所以x一1=3，解得x=4. (2+品-0，所以3=一器所以=-品 1251 解得红=一 3 2.解：设正方体铁块的棱长为xcm,由题意，得 xx(学) X2=x3,解得x=6. 答：正方体铁块的棱长为6cm. 2平方根与立方根(3) 1.B 2.解：(1)3√14-3 (2)因为2<√6<3，所以m=√6-2. 因为4<√2I<5,所以n=4,所以2m十n=2√6-4十4= 2√6. (3)a=15,b=√/32-5. 3二次根式(1) 解：(1)√ab=√a·√6 (2)①J16×25=√/16X√25=4X5=20. ②√64×169=√/64×√/169=8×13=104. (3)√32X√8=√32×8=√256=16，所以长方形的面积 为16. 3二次根式(2) 解：(1)原式=2√72-3√2=12W2-3√2=9√2. (2)原式=√6÷√2一√2÷√2=√3-1. ⑧源支酒晋-厚晋-=i (4)原式=(W2)2-2×√2X√5+(5)2+（√5）2-22=2- 2√6+3+3-4=4-2√6. 3二次根式(3) 解：原式=2×25-6×写+8X4后=45-2+ 12W3=143. 2)原式-+9营+28=日5+名6. (3原式=35-(2万-号)=(3-2+号)=÷5， (0原式=25-3厄+3x9+2反=2后-32+5+2反= 3√5-√2. 3二次根式(4) 解：1)原式=35+2--2w后=5+ 2 2 (2)原式=3√5-√3+23+2=3√5+√3+2. (3)原式=25-3-（侵×3v万-3）=25-3-25+3 2/5. (4)原式=26+-巨+6=36+ 24 4 3二次根式(5) 解：(1)原式=(7)2-(W3)2-(6+2√12+2)=7-3-8- 43=-4-45」 (②原式=62+42-16X=102-42=62 式=43÷3-2×23+26=4-6+2W6=6 (4)原式=9-√6+3√6-2+6+1-2√6=14. 3二次根式(6) 1.解：(1)原式=9-3+2+√3=8+√3， (2)原式=[5-(W2-√10)][5+(W2-√10)]=(5)2- (W2-√10)2=5-2-10+2×2W5=4V5-7. 2解：(6-√公)画=后6-a=a6-后 当a=2,b=3时，原式=2√5-√2 第三章位置与坐标 2平面直角坐标系(1) 解：(1)A(一3，一2)，B(一5,4)，C(5,一4)，D(0,-3),E(2,5), F(-3,0) (2)如图所示，点L,M,N,P即为所求 Y4 -1O 2平面直角坐标系(2) 解：(1)4 (2)因为点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”， 所以当点B(4a-1,-2)是“龙沙点”时，|4a-1|=|-21, 所以4a-1=土2， 当a-1-2时，解得a- 当4a-1=一2时，解得a=-1 4 所以a=子或a=一子 1 (3)因为点C(一3,3b一2)的长距为4， 所以3b一21=4， 解得6-2或6-一子 因为点C在第二象限内，