精品解析：广东深圳实验学校坂田部2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试卷

2026—2027第一学期阶段测试 九年级 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（共8道题，每题3分，共24分．） 1. 下列投影是平行投影的是（　　） A. 孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B. 朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C. 车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式可得顶点坐标，根据，判断开口方向即可 【详解】解：由题意知，的顶点坐标为， ∵， ∴开口向上， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据每天遗忘百分比，两天后记得的知识量为 ，以此可列出方程． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为x， ∴一天后记得的知识为， 两天后记得的知识为 ， 又∵两天不练丢一半， ∴ ， 故选：A． 7. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上．下列结论错误的是（ ） A. B. 不等式得解集为 C. D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式并数形结合是解题的关键． 由题意知，当时，，当时，，即，可判断A的正误；由题意知，不等式得解集为一次函数图象在二次函数图象上方部分所对应的的取值范围，由图象可知，解集为，可判断B的正误；由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，，则，可判断C的正误；当时，，方程有一个根（或两个相等的实数根），可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，当时，， 当时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，不等式的解集为一次函数图象在二次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图象可知，不等式得解集为，B正确，故不符合要求； 由图象可知，，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴，C正确，故不符合要求； 当时，，方程有一个根（或两个相等的实数根），D错误，故符合要求； 故选：D． 8. 现定义符号含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示， 设它们交于点A，B，令，即， 解得：，， ∴点，， 观察图象得： 当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为； 当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值小于； 当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为； 综上，的最大值为． 二．填空题（共5道题，每题3分，共15分．） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 已知点，，都在函数上，则，，的大小关系是______（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的值，再比较大小即可. 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入计算对应函数值， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 11. 如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，过点E作于点Q，根据三视图的对应情况可得出，，再由直角三角形的性质，进而求出即可． 【详解】解：过点E作于点Q， 由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据 得到 ，利用相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴，  ∴ ， ∴ ， ∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴． 13. 如图在正方形中，将边绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，的角平分线交于点H，连接并延长交于点G．交的延长线于点F，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形和旋转性质证明，得出；通过角度计算求得；作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理和三角函数求出、的长，进而得到；最后利用相似三角形性质求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵将边绕着点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过作于， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共7道题，共61分．） 14. 计算 （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）将原方程整理为一元二次方程一般形式，因式分解求解即可； （2）分别解两个不等式，取解集的公共部分得到最终结果． 【小问1详解】 解： 移项整理原方程得， 因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解： ， 解不等式①得，  解不等式②得， 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 15. 分式化简求值：，其中x为满足的整数． 【答案】原式化简结果为，符合条件的整数，代入得原式的值为． 【解析】 【详解】解： ； ∵x为满足的整数， ∴x的值为， 当时，分式无意义， ∴x的值为0， 时，原式． 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）写出点P的坐标为______； （2）与的面积比为______，的面积为______； （3）以原点O位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为． 【答案】（1） （2）， （3）如图，为所求； 【解析】 【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心点P，根据坐标系即可得到点P的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，的长，根据与是位似图形得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解．根据割补法可求出的面积； （3）延长、，并使、，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，点P为位似中心，由图可得点P的坐标为． 【小问2详解】 解：由图可得，，，， ∴， ， ∵与是位似图形， ∴， ∴． 由图可得． 【小问3详解】 略 17. 如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据是边上的高，得出，则．结合，得出．即可得，即．结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形． （2）根据四边形是菱形，得出，结合，得出是等边三角形，则，由勾股定理得​，再根据四边形的面积求解即可​． 【小问1详解】 证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：​， ∴四边形的面积​． 18. “十一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x，在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表； 销售单价x（元/件） 320 380 日销售量y（件） 80 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为300元； （2）当A商品的销售单价定为320元时，日销售利润最大，最大利润是9600元． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种商品的进货单价分别是元，元，根据题意列方程组即可解答； （2）先利用待定系数法确定与的函数关系式，再表示出销售利润，根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品的进货单价分别是元，元， 根据题意可得 解得 答：A、B两种商品的进货单价分别是元，元； 【小问2详解】 解：设， 把，；，分别代入，得 解得 ， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ， 当时，取最大值， 此时， 故当A商品的销售单价定为320元时，日销售利润最大，最大利润是9600元． 19. 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． 例如：函数是“减半函数”． 理由：时，． 函数图象上存在“减半点”，函数是“减半函数”． 根据以上定义，解答下列问题： 若抛物线G：经过点 （1）求抛物线G的解析式． （2）判断抛物线G是否是“减半函数”，如果是，求出该函数“减半点”，如果不是，请说明理由． （3）将抛物线G向上平移4个单位长度，得到新抛物线H，作直线交抛物线H于点A．作直线交抛物线H于点B，连接，若线段的中点恰好为“减半点”，求t的值． 【答案】（1） （2）是“减半函数”，“减半点”为和 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入函数关系式求出的值即可； （2）根据“减半函数”的定义，列方程求解即可； （3）先求出新抛物线H的关系式，再确定，点的坐标，根据中点坐标公式求出中点的坐标，根据“减半点”的坐标特征列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：抛物线图象经过点 ， 解得， 抛物线G的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ，， 当时，； 当时，； 抛物线G是“减半函数”，“减半点”为和； 【小问3详解】 解：新抛物线H的关系式为， 当时，， ， 当时，， ， 的中点坐标为，即， ， 解得，． 即的值为或． 20. 在等腰中，，，将绕点C顺时针旋转至． 【初步感知】 （1）如图1，当点D恰好落在边上时，求证：． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接，交于点F，交于点G，求的值． 【拓展延伸】 （3）若，在旋转过程中，试探究是否存在是以点D或点E为直角顶点的直角三角形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 由旋转得∶， ， ， ， ， ， ， ； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由得到，由得到，从而得到，结合证明，根据相似三角形的性质即可得证结论； （2）过点作于，在上截取，连接，过点作交于，交于，通过“”证明，得到．设，则，因此，，，通过求解角的度数得到，得到，，由等腰直角得到，因此．根据，得到，根据相似三角形的性质得到，再由即可求解； （3）分别求解时和时的长，注意当时，点可能在的延长线上时，根据等腰三角形的判定及性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶过点作于，在上截取，连接，过点作交于，交于，如图， 由（1）有， ∴． 由旋转得，，， ， 即， ， ， ∵，， ∴ 在和中， ， ， ∴． ，， ，，． 设，则， ，，， ， ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ． ， ， ； 【小问3详解】 解∶①当时，如图， 由旋转有 ∴， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴． ，， ， ， ； ②当时，如图，过点作于，作于， 由旋转得∶，，， ， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，，， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ，即； 若点在的延长线上时，如图， 由旋转得∶，， ∴ ， ， ∴在中， ； 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027第一学期阶段测试 九年级 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（共8道题，每题3分，共24分．） 1. 下列投影是平行投影的是（　　） A. 孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B. 朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C. 车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 2. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 3. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上．下列结论错误的是（ ） A. B. 不等式得解集为 C. D. 方程有两个不相等的实数根 8. 现定义符号含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 二．填空题（共5道题，每题3分，共15分．） 9. 若，则的值为______． 10. 已知点，，都在函数上，则，，的大小关系是______（用“＜”连接）． 11. 如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为______． 12. 如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 13. 如图在正方形中，将边绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，的角平分线交于点H，连接并延长交于点G．交的延长线于点F，连接，若，，则的长度为______． 三、解答题（共7道题，共61分．） 14. 计算 （1）解方程： （2）解不等式组： 15. 分式化简求值：，其中x为满足的整数． 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）写出点P的坐标为______； （2）与的面积比为______，的面积为______； （3）以原点O位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为． 17. 如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 18. “十一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x，在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表； 销售单价x（元/件） 320 380 日销售量y（件） 80 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 19. 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． 例如：函数是“减半函数”． 理由：时，． 函数图象上存在“减半点”，函数是“减半函数”． 根据以上定义，解答下列问题： 若抛物线G：经过点 （1）求抛物线G的解析式． （2）判断抛物线G是否是“减半函数”，如果是，求出该函数“减半点”，如果不是，请说明理由． （3）将抛物线G向上平移4个单位长度，得到新抛物线H，作直线交抛物线H于点A．作直线交抛物线H于点B，连接，若线段的中点恰好为“减半点”，求t的值． 20. 在等腰中，，，将绕点C顺时针旋转至． 【初步感知】 （1）如图1，当点D恰好落在边上时，求证：． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接，交于点F，交于点G，求的值． 【拓展延伸】 （3）若，在旋转过程中，试探究是否存在是以点D或点E为直角顶点的直角三角形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $