精品解析：福建省泉州市安溪第一中学2025--2026学年九年级上学期第一次学情调研数学试卷

2025年安溪一中九年级上学期第一次学情调研 数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（　　） A. B. C. 或 D. 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A. 2018 B. -2018 C. 2020 D. -2020 7. 关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A. a＜且a≠0 B. a＞ C. a≤且a≠0 D. a≥ 8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知x+y=，xy=，则x2+y2的值为（　　） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ） A. 1一定是关于x的方程的根 B. 0一定不是关于x的方程的根 C. 1和至少有一个是关于x的方程的根 D. 1和都是关于x的方程的根 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 化简：______． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为______． 14. 如图，在矩形中无重叠的放入面积分别为24和6的两个正方形纸片，则图中阴影部分的周长为______． 15. 化简的结果是________． 16. 对于实数，，定义运算“”：，若，（）是关于的一元二次方程的两根，且，则的值等于______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简再求值：，其中． 20. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 21. 十八世纪，古巴比伦泥板书上有这样一个问题：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”请用一元二次方程的知识解决这个问题. 22. 已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值； 23. 某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． （1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ （2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 24. 关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，求的值． 25. 材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式．配方法在解最值方面有广泛应用．如：． 应用：空地上有一段长为20米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为80米． （1）如图1，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，且围成的矩形菜园面积为512平方米．求所利用旧墙的长； （2）按图2方式也可围成一个矩形菜园．要使所围成的矩形菜园的面积最大，图1、图2两种方式应采用哪种方式，并求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安溪一中九年级上学期第一次学情调研 数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义,掌握知识点是解题的关键． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；， D、无法化简，符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； 故选D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B．，计算正确，符合题意； C．3与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 方程的解是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程变形得：， 分解因式得：， 解得：， 故选：C． 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 5. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，方程两边加上，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 6. 设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A. 2018 B. -2018 C. 2020 D. -2020 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-1，ab=-2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019， 所以a+b+ab=-1-2019=-2020． 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，. 7. 关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A. a＜且a≠0 B. a＞ C. a≤且a≠0 D. a≥ 【答案】A 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，继而可求得a的范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0， 解得：a＜， ∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程， ∴a≠0， ∴a的范围是：a＜且a≠0． 故选：A． 【点睛】根据一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． 8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 已知x+y=，xy=，则x2+y2的值为（　　） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， ∴. 故选A. 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ） A. 1一定是关于x的方程的根 B. 0一定不是关于x的方程的根 C. 1和至少有一个是关于x的方程的根 D. 1和都是关于x的方程的根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、因式分解法求解一元二次方程的性质，从而完成求解．根据一元二次方程的定义，计算得，根据一元二次方程判别式的性质，计算得或，将代入，通过因式分解法求解一元二次方程，计算得的值，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴1和都可能是方程的根，故C选项正确，A选项错误，D选项错误； 当时，，解得或， 则0可能是方程的解，故B选项错误， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ，, ， ， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：5． 14. 如图，在矩形中无重叠的放入面积分别为24和6的两个正方形纸片，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，算术平方根的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出阴影部分矩形的长和宽，即可得解． 【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为24和6， ∴它们的边长分别为，， ∴阴影部分矩形的宽为，长为，即阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：． 15. 化简的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，先确定a的取值范围，再根据此范围化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴． 16. 对于实数，，定义运算“”：，若，（）是关于的一元二次方程的两根，且，则的值等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由原方程得，然后分当时，，，当时，，两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 又， 则当时，，， ∵， ∴，解得：，符合题意； 当时，，， ∵， ∴，解得：（不符合题意）或符合题意； 综上可得：的值等于或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和二次根式的除法法则化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 即； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到，，是解题的关键．先根据数轴得到，，，再根据算术平方根的性质化简即可． 【详解】解：依题意得到，，， 则原式 ． 21. 十八世纪，古巴比伦泥板书上有这样一个问题：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”请用一元二次方程的知识解决这个问题. 【答案】11 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式列式计算即可. 【详解】解：设矩形长边为，短边为. 由题意得：， 解得：，（舍去）. 答：矩形长边为11. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. 22. 已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值； 【答案】（1） 解：根据题意得∶ △＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0， ∴无论m为任何实数，方程总有两个实根； （2）1 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先求出方程的两根为x1＝，x2＝﹣1．再根据题意方程有两个互不相等的负整数根，可得＜0．从而得到0＜m＜4．再由m为整数，且，可得m＝1或2．即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶∵， ∴x1＝＝，x2＝＝﹣1． ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴＜0． ∴或， ∴0＜m＜4． ∵m为整数，且， ∴m＝1或2． 当m＝1时，x1＝＝﹣3≠x2，符合题意； 当m＝2时，x1＝＝﹣1＝x2，不符合题意； ∴m＝1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程解的情况求参数，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键． 23. 某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． （1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ （2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 【答案】（1）第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克 （2）m的值为10 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可； （2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； 【小问2详解】 解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 24. 关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； 【小问2详解】 解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； 【小问3详解】 解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 25. 材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式．配方法在解最值方面有广泛应用．如：． 应用：空地上有一段长为20米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为80米． （1）如图1，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，且围成的矩形菜园面积为512平方米．求所利用旧墙的长； （2）按图2方式也可围成一个矩形菜园．要使所围成的矩形菜园的面积最大，图1、图2两种方式应采用哪种方式，并求面积的最大值． 【答案】（1）所利用旧墙的长为16米 （2）应采用图2方式，面积的最大值为625平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）设的长为x米，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意表示出图1和图2方式所围成矩形的面积，然后求解判断即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 依题意得， 整理得， 解得（舍去） 答：所利用旧墙AD的长为16米； 【小问2详解】 图1方式所围成矩形的面积为： 当越小，面积越大． ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积为：（平方米）， 图2方式所围成矩形面积为： 同理可得，当时，面积最大为625 又∵，符合题意． 综上所述，应采用图2方式，面积的最大值为625平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $