第4章 图形的相似（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第4章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，在上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（25-26九年级上·上海·课后作业）在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（本题2分）（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（本题2分）（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（本题2分）（19-20九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，连接，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 7．（本题2分）（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（12-13九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 9．（本题2分）（2022·浙江舟山·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 12．（本题2分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 13．（本题2分）（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 14．（本题2分）（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、，连接、，若，，则 ． 15．（本题2分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为 米． 16．（本题2分）（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 17．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·开学考试）在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为 ． 18．（本题2分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G、M．有下列四个结论： ； 垂直平分；；．其中正确的是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． (1)若位似比，请你在轴右侧画出． (2)若位似比，则___________． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求 的面积． 22．（本题8分）（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 23．（本题8分）（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 24．（本题8分）（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点E在延长线上，连接、，分别交线段、边、对角线于点F、G，H（点F不与点C、E重合）． (1)当点F是线段的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 25．（本题10分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，中，，，点D在上，若平分 的面积，的长度为 ； （2）如图②，平行四边形中，，，，点M在上，点N在上，若平分平行四边形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度； （3）如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路交于E，使把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知米，米，，求线段的长． 26．（本题10分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第4章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，在上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质． 先证明，∽，设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【规范解答】证明：， ， ， ， ， ， 同理可证， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（本题2分）（25-26九年级上·上海·课后作业）在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】此题考查平行线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先由平分，可证明，则，长度可求，再证明，由对应边成比例即可求得长度． 【规范解答】解：， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ， ， ∴， ， ，， 即， ． 故选：D． 3．（本题2分）（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键． ①由等腰直角和等腰直角三边比，根据相似三角形的判定2证明；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：，是等腰直角三角形，， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以②正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， ∴正确的有①②③， 故选：D． 4．（本题2分）（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【规范解答】解：A选项：， ， ， 又， 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：， 故A选项不符合题意； B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等， 无法说明， 故B选项符合题意； C选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故C选项不符合题意； D选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（本题2分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 6．（本题2分）（19-20九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，连接，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作，易得为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【规范解答】解：作，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．（本题2分）（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 8．（本题2分）（12-13九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【思路引导】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【规范解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 9．（本题2分）（2022·浙江舟山·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似图形中对应的边成比例，掌握此性质是解决本题的关键． 位似图形中，相对应的边成比例． 【规范解答】解：∵五边形与五边形是相似图形，且. ∴． 故选：D． 10．（本题2分）（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设正方形的边长为，则，，据此得到,再由，可证明，得到，,进而证明，则可证明，得到，，由勾股定理得到，则，，，可得，据此可得答案． 【规范解答】设正方形的边长为，则， 点是的中点，， ，， , ， ，故①正确； ，, ， ，, ， ，， ，故②正确； 在中，由勾股定理得， ， ，， ，故③正确， 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质和判定，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ， 又， ， ， ∴ ， ， 故答案为：2 ． 12．（本题2分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【思路引导】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 13．（本题2分）（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质，不等式组的应用，解此题的关键是得出关于x的不等式组． 根据相似三角形的性质得出比例式，求出的值，根据即可得出不等式组，求出解集即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E在上，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、，连接、，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用旋转的性质．连接、， 利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，，， 从而根据两条边对应成比例，且这两条边的夹角对应相等，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可得解． 【规范解答】解：如图，连接、， 四边形为矩形， ， ∵在中，，， ， 将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、， ，，， ， ， ． 故答案为： ． 15．（本题2分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为 米． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，推出，得到，接着证明是等腰直角三角形，得到，然后代入和，解方程即可算得，最后算得． 【规范解答】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， （）， 米，米， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （）， 故答案为：． 16．（本题2分）（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 由题易知，结合，得到，即可证得，利用相似的性质可得即可求解． 【规范解答】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·开学考试）在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为 ． 【答案】12 【思路引导】作于H，交于P，如图，则，，，证明，然后利用相似比计算出即可． 本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【规范解答】解：作于H，交于P，如图， 则，，， ， ， ， 即， ， 即旗杆的高度为． 故答案为：． 18．（本题2分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G、M．有下列四个结论： ； 垂直平分；；．其中正确的是 ． 【答案】． 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的判定，三角形的面积公式等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据已知条件用判定，故正确；由全等得利用角度转换得，再证，得即可得出正确；证，得对应线段的比例关系，利用条件将等式变形即可得出正确；计算出，即可得出错误． 【规范解答】解：四边形是边长为2的正方形， 在和中， ， 故正确； ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， 故正确； ， ， 故正确； ， 点F在边上，交于点M， 故错误， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 【答案】4厘米或9厘米 【思路引导】本题考查了相似多边形，解一元二次方程，掌握相似图形的对应边成比例是解题关键．根据相似的性质，得到，即可求出的长度． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，厘米，厘米， ∴厘米，厘米， ∴，                ∵矩形矩形相似， ∴（相似图形的对应边成比例）， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4厘米或9厘米． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． (1)若位似比，请你在轴右侧画出． (2)若位似比，则___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键． （1）将点的横纵坐标都乘以得到的坐标，再顺次连接即可． （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： （2）解：， ∵位似比， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 22．（本题8分）（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），，（2）①   ②见解析 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 可推出结论； （2）①证明 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；②由①知 ，得出．再结合（1），即可推出结论． 【规范解答】【观察发现】（1）解：嘉嘉得出，理由如下： ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：，，； 【探究应用】（2）①解：，， ， ； ②证明：由①知 ， ， ． 由（1）得， ， ． 23．（本题8分）（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），；（2）仍然成立，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即； （2）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即． 【规范解答】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∵点在正方形的边上， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）仍然成立，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 24．（本题8分）（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点E在延长线上，连接、，分别交线段、边、对角线于点F、G，H（点F不与点C、E重合）． (1)当点F是线段的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. （1）首先利用勾股定理得出的长，证得，得出，进一步得出，利用三角形相似的性质得出、的长，利用勾股定理求得而答案即可； （2）作，垂足分别为M、N，证明，建立、之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据，得出x的定义域即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴，， 则． 25．（本题10分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，中，，，点D在上，若平分 的面积，的长度为 ； （2）如图②，平行四边形中，，，，点M在上，点N在上，若平分平行四边形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度； （3）如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路交于E，使把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知米，米，，求线段的长． 【答案】（1）4； （2）；（3） 【思路引导】（1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据等高三角形的面积比等于底的比，得出，即平分的面积，然后利用勾股定理即可求出的长度； （2）连接、交于点，过点作直线与交于点，与交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，同理可证，，，得到，，从而得出，即平分平行四边形的面积，当时，线段最短，再利用直角三角形的特征，求得，然后根据平行线间的距离相等，即可得到的长度； （3）连接、交于点，在上取一点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的性质，得到是的垂直平分线，再由勾股定理，得出，，进而得到，由题意可知，过点D的直线将四边形的面积平分，得到，从而得到，求得，证明，得到，求得，进而得到，最后再利用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）如图，过点作于点， ，， ， ，即平分的面积， 由勾股定理得：； （2）解：如图，连接、交于点，过点作直线与交于点，与交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证，，， ，， ， ，即平分平行四边形的面积， 当时，线段最短， 过点作， 在中，，， ， ， ， ； （3）存在， 如图，连接、交于点，在上取一点，过点作于点，连接， ，， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， 在中，为中点， ， 在中，， ， 过点D的直线将四边形的面积平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，． 【考点剖析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键，综合性较强． 26．（本题10分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立，证明过程见解析； 当四边形的面积最小时，线段的长为． 【思路引导】（1）由已知结合对顶角相等，可证明，可得，由线段之间的关系，可得，，即可得； （2）由已知结合旋转的性质，可证明，可得，证明，可得，从而可得；设，可得，，，可得，由勾股定理可得，，作于点，于点，，由两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小，根据勾股定理可得，结合相似比，即可得线段的长． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）（1）中的结论仍然成立， 证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 作于点，于点， ， ∵， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小， ∵，，，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当四边形的面积最小时，线段的长为． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，图形的面积，旋转的性质． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $