精品解析：江苏省宜兴升溪中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

宜兴市升溪中学2025～2026学年第一学期 第一次初二年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每题3分共30分．） 1. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 2. 如图，，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在中，，，垂足为D，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，在中，D为上一点，且，则等于 （ ） A. B. C. D. 7. 图为一张锐角三角形纸片，下列三条线段，能够通过折纸得到的是（ ） ①边上的中线；②的角平分线；③边上的高 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 9. 如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知的周长为，若_______． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 14. 如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 15. 下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 16. 如图，，，是的中线，，则的面积=______． 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 18. 如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于点Q，假设，当为等腰三角形时，则_______． 三、简答题（本题共9大题，共66分．） 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 20. 如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD （1）求证：△ABD≌△ACD； （2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE． 21. 如图，是的高，是的角平分线，F是中点，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，则　　． 22. 已知在中，、、的对边分别为． （1）化简代数式：　　　　　． （2）若，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，求腰长． 23. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一个点D，使点D到边距离相等，且分别在上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，则与的周长和为　　　　　　．（如需画草图，请使用图2） 24. 如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F． （1）求证：． （2）下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识． 在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则． 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 26. 已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市升溪中学2025～2026学年第一学期 第一次初二年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每题3分共30分．） 1. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2. 如图，，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，只有符合全等判定方法的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的． 判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在． 【详解】解：A、∵， ∴根据不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、两个锐角不确定，可画出多个三角形, 故本选项不符合题意；； C、并不是的夹角，所以可画出多个三角形，故本选项不符合题意； D、根据符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质，根据是的垂直平分线，由中垂线的性质得到，即可得到答案，熟记中垂线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，，垂足为D，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键． 由在中，，，根据三线合一的性质求解即可求得的长． 【详解】解：，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，D为上一点，且，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边对等角可求出的度数，再利用外角性质，等边对等角即可求出结果． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：C． 7. 图为一张锐角三角形纸片，下列三条线段，能够通过折纸得到的是（ ） ①边上的中线；②的角平分线；③边上的高 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答即可求解，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 【详解】解：①边上的中线：如图，使点重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图，沿直线折叠，使与重叠，此时即为的角平分线； ③边上的高：如图，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高； 综上所述，能够通过折纸得到的有①②③， 故选：． 8. 有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要使凳子到三个人的距离相等，凳子要放在三边的线段垂直平分线的交点上． 【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 要使凳子到三个人的距离相等，凳子要放在三边的线段垂直平分线的交点上． 故选：B． 9. 如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③分2种情况求出x的值可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示， 当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故③错误； ④当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知的周长为，若_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 14. 如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 【答案】##21度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和轴对称图形的判定与性质是解题的关键．根据轴对称的性质判定①；根据全等三角形的定义判定②；根据等腰三角形判定判定③；根据轴对称图形的有定义判定④． 【详解】解：成轴对称的两个三角形全等，故①是真命题； 面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题； 有两个内角相等的三角形是等腰三角形，故③是真命题； 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故④是真命题； ∴真命题有①③④共3个， 故答案为：3． 16. 如图，，，是的中线，，则的面积=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，由是的中线可得的面积，由得，所以，的面积，可得结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴, ∵, ∴， ∴的面积, 故答案为：． 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 18. 如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于点Q，假设，当为等腰三角形时，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，过B作于D，过B作于E，根据旋转的性质，表示出中三个内角，再进行分类即可． 【详解】解：如图，过B作于D，过B作于E， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 分三种情况： ①如图所示，当时，， ∵， ∴， 解得； ②如图所示，当时，， 即， 解得； ③当时，， 又∵， ∴（不符合题意）， 故答案为：或． 三、简答题（本题共9大题，共66分．） 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 20. 如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD （1）求证：△ABD≌△ACD； （2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE． 【答案】（1） 证明：在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）； （2） 证明：∵△ADB≌△ADC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE． 【解析】 【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可； （2）证明∠EAD＝∠ADE即可证明AE＝DE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 21. 如图，是的高，是的角平分线，F是中点，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，则　　． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； 【小问2详解】 解：是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ， 故答案为：10． 22. 已知在中，、、的对边分别为． （1）化简代数式：　　　　　． （2）若，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，求腰长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得； （2）先根据三角形中线的定义可得，再设元对周长分两种情况讨论，即或，分别求出的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 故答案为． 【小问2详解】 解：画出图形如下：设，，则． 中线把三角形的周长分为和两部分， 或， 即或， 解得或． 当时，三边为，，不符合三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，此时腰长为12，符号题意． 故腰长为． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、整式加减的应用、去绝对值、二元一次方程组的应用、三角形的中线等知识点，解题关键是分两种情况讨论． 23. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一个点D，使点D到边距离相等，且分别在上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，则与的周长和为　　　　　　．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）24 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，掌握基本作图的作法是解决问题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线和垂直平分线的作法作图即可； （2）由题意可证，进而得到，得到与的周长和，即可得解． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，适当长为半径画弧交于两点，再分别以它们为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点A，交于点D，再以点A，点D为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点分别交于M，N， 【小问2详解】 解：连接，设与交于点O， 由题意可知，是的垂直平分线， 则， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴与的周长和， ∵， ∴与的周长和 故答案为：24． 24. 如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F． （1）求证：． （2）下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识． 在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：是假命题，反例是： 如图， 当点E、F在图上的点处时， 虽然有，但不能得到，故此命题是假命题． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及判断命题的真假， （1）先证明，再证明即可得出结论； （2）先说明命题是假命题，根据题意画出符合命题条件但不符合命题结论的图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如下图，过点E作交延长线于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由垂直得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点E作交延长线于点N，证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两种情况：当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N，设，则，证明及即可求出结论；点D在线段上，同理，设，则，求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图，点D在线段上， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $