精品解析：江苏省常州市焦溪初级中学2025-2026学年八年级上学期第一次随堂检测数学试题

八年级数学第一单元学情诊断 一选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 下列三条线段的长度能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 2，9，6 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能够组成三角形，故本选项不符合题意； D、，能够组成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题目，熟知三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 3. 如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，，结合的判定方法，添加两边的夹角即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 故应添加的条件为． 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 5. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：选项 A的图形中，线段是的高，其他图形均不符合高的定义， 故选：A． 6. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用证明，得，再由三角形的外角性质可得，从而得出，然后由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质和内角和定理等，解题的关键是证明三角形全等． 7. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q，作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、三角形内角和定理、等腰三角形的性质 ．首先根据三角形内角和定理可以求出，由尺规作图可知：是的垂直平分线，所以可得，根据等边对等角可得，根据可求结果． 【详解】解：∵在中，，， ， 由尺规作图可知：是的垂直平分线， ， ， ．  故选：B ． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 10. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 【答案】85 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝25°， ∵∠CAD＝10°，∠B＝50°， ∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 11. 如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：， 所以理由是． 故答案为：． 12. 是等腰三角形，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义． 由可知为顶角，根据两底角相等求的度数即可． 【详解】∵， ∴为顶角， ∵等腰三角形两底角相等， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B. 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴BF=CF， ∴∠B=∠BCF， ∵△ACF为等边三角形， ∴∠AFC=60°， ∴∠B=∠BCF=30°. 故答案为：30. 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF. 14. 如图，中，，平分交于点，，，则到的距离为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作于E，先根据题意求出，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即D到的距离为， 故答案为：4． 15. 如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义． 先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故答案为：． 16. 如图，，C为线段上一点，满足，若，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 由可证，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性；解题的关键是熟练掌握三角形稳定性的性质，从而完成求解． 【详解】解：为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 18. 已知：平分，平分，于点，的周长是，面积是，则的长是：_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 过作垂足分别为，利用角平分线的性质证明：再利用列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 过作垂足分别为， 分别平分 ， 的周长是，面积是， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，即三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 19. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，再运用证明，即可作答． 【详解】略 20. 如图，∠FED＝∠B，EF＝BC，DA＝ EB．求证：∠F＝∠C． 【答案】 证明： ，即 在和中， ． 【解析】 【分析】先根据线段的和差可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段的和差、三角形全等的判定定理与性质，熟记三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 21. （1）小明在生活中遇到了这样一个问题：如图1，、、表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置． 在学习了《图形的轴对称》这一章后，你能帮助小明解决这个问题吗？（不要求作图，只简要说明你的思路及依据） （2）通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺（不能使用圆规），在下列正方形网格中找到一点，使的它到、、三点的距离相等．（注意保留作图痕迹） 【答案】 （1）构造线段、，分别作两条线段的垂直平分线，交于点，此时为所作的货物中转站，原理是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． （2）如图， 【解析】 【分析】（1）构造线段、，分别作两条线段的垂直平分线即可解决问题； （2）根据（1）作出两条线段垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 22. 如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵与相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）先由得，再根据对顶角相等得，然后由证明，最后根据全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知，，于M，于N，求证：． 【答案】 证明：已知，，如图，连接， 在和中， ， 又于，于， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定证明进而即可得证． 【详解】略 24. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：；理由如下： 如图，交于点O， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 【答案】（1） 解：补全图形如下： （2） 证明：分别是的中点， ，． ， ， 平分， ， 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接即可； （2）用证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一单元学情诊断 一选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 下列三条线段的长度能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 2，9，6 D. 4，6，9 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 5. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q，作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 在等腰三角形中，若，，则___________ 10. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 11. 如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 12. 是等腰三角形，若，则的度数为__________． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°． 14. 如图，中，，平分交于点，，，则到的距离为___________． 15. 如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________． 16. 如图，，C为线段上一点，满足，若，则的长为_______ 17. 李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是______． 18. 已知：平分，平分，于点，的周长是，面积是，则的长是：_______． 三、解答题 19. 如图，，，，求证：． 20. 如图，∠FED＝∠B，EF＝BC，DA＝ EB．求证：∠F＝∠C． 21. （1）小明在生活中遇到了这样一个问题：如图1，、、表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置． 在学习了《图形的轴对称》这一章后，你能帮助小明解决这个问题吗？（不要求作图，只简要说明你的思路及依据） （2）通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺（不能使用圆规），在下列正方形网格中找到一点，使的它到、、三点的距离相等．（注意保留作图痕迹） 22. 如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 23. 如图，已知，，于M，于N，求证：． 24. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 25. 如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $