精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C D. 10. 设a，b是方程两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的一个根是，则另一个根是 ___． 12. 二次函数的顶点坐标是 ___． 13. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是________． 14. 科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有___________名学生． 15. 关于的方程有实数根．则整数的最大值是__________． 16. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 三、计算下列各题（共90分） 17. （1）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． （2）解方程： （3）解方程：． 18. （1）已知实数满足，求值． （2）某商场销售某种冰箱，每台标价为3000元．若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． 19. 如图所示，中．，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止． （1）经几秒，使的面积等于？ （2）经几秒，两点间的距离是？ 20. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一根为3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． 22. 先阅读，再解决问题． 阅读：材料一  配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程可先配方，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题． 材料二  对于代数式，因为，所以，即有最小值，且当时，取得最小值为． 类似地，对于代数式，因为，所以，即有最大值，且当时，取得最大值为． 解答下列问题： 填空：①当________时，代数式有最小值为________； ②当________时，代数式有最大值为________． 试求代数式的最小值，并求出代数式取得最小值时的的值． （要求写出必要的运算推理过程） 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 24. 如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点．并且已知， （1）求该抛物线解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A.方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质.根据的性质进行解答即可. 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：A． 5. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算判别式的值即可判断． 【详解】解：∵b＞0，c＜0， ∴△＝b2−4c＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0，（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程配方法的步骤．本题先移项化为，在方程两边都加上9，从而可得答案. 【详解】解：， 移项后得： 配方得：， ， 故选：A． 8. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 9. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 10. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即， ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的一个根是，则另一个根是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴另一个根． 故答案为：． 12. 二次函数的顶点坐标是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质．直接利用顶点式解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是：． 故答案为：． 13. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 14. 科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有___________名学生． 【答案】12 【解析】 【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送（x﹣1）件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可． 【详解】解：设全组共有x名学生，由题意得 x（x﹣1）＝132 解得：x1＝﹣11（不合题意舍去），x2＝12， 答：全组共有12名学生． 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 15. 关于的方程有实数根．则整数的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，本题可分情况讨论方程是一元一次方程和一元二次方程时的情况，根据方程有实数根的条件来确定整数的最大值，即可． 【详解】解：第一种情况： 当方程是一元一次方程时，，即时， 原方程化为， 这是一元一次方程，有唯一实数根符合题意； 第二种情况： 当方程是一元二次方程时，，即时，原方程有实数根是一元二次方程， 计算： ， 因为方程有实数根， 所以，即， 解得， 又∵是整数且， ∴此时最大整数值为， 当时方程有实数根； 当时，最大整数值为； ∵， ∴整数的最大值是． 16. 如图是一张长，宽矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 三、计算下列各题（共90分） 17. （1）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． （2）解方程： （3）解方程：． 【答案】 （），见解析 （） （） 【解析】 【分析】本题主要考查以下知识点： 解一元一次不等式组：涉及不等式的基本性质，还有在数轴上表示不等式组的解集； 解一元二次方程：包括配方法(通过移项、配方将方程转化为完全平方式求解)、因式分解等方法，运用了等式的基本性质以及平方根的意义等知识． （）本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集即可； （）用配方法解一元二次方程，先移项得；再配方，两边加，得；然后根据平方根意义，得；最后分别求解，得到； （）用配方法解一元二次方程，先去括号，再移项合并同类项，接着再次移项，然后配方，得到，最后根据平方根意义求解，得出． 【详解】解：（）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集是：， 它的解集在数轴上表示为： （）， 移项，得， 配方，得， ， 根据平方根的意义，得 ， 即：或， 即：； （）， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 移项，得， 配方，得， ， 根据平方根的意义，得 或， 即：. 18. （1）已知实数满足，求的值． （2）某商场销售某种冰箱，每台标价为3000元．若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． 【答案】（1）2；（2）每次降价的百分率是 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的有关运算法则，并掌握一元二次方程的求解方法． （1）先将分式进行化简，再由因式分解法解一元二次方程求出的值，然后代入求解即可． （2）设每次降价的百分率为，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵， ∴， 当时，，分母为0， ∴（舍去）， 当时，原式； （2）解：设每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 19. 如图所示，中．，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止． （1）经几秒，使的面积等于？ （2）经几秒，两点间的距离是？ 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解． （）根据题意表示出的长，再根据三角形的面积公式列方程即可． （）设经过秒，两点间的距离为，先根据点的运动表示出，，再根据勾股定理，列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设经过秒，使的面积等于， 已知点的速度是，则， ∴， 点的速度是，则， ∵， 根据三角形的面积公式，得， ， 解得或． 故经过秒或秒，能使的面积等于． 【小问2详解】 设经过秒，两点间的距离是， 由()知∴，， ∵， 根据勾股定理， 即：， 整理，得， 根据求根公式， 解得：或（时间不能为负，舍去）， ∴经过秒，两点间的距离是． 20. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米；（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一根为3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． 【答案】（1）见解析． （2）． 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据方程一根为3，代入方程可求m的值，再根据根与系数的关系可以得到方程的另一个根为，此时便可得到等腰三角形的三边分别为3，3，，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， 则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵方程一根为3 ∴ 解得 设方程的另一个根为x，利用根与系数的关系得 ∴ 又∵方程两根为等腰三角形两边长 ∴当为腰时， ，不能组成三角形； 当3为腰时，3，3，可以组成三角形，其周长为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与解的关系． 22. 先阅读，再解决问题． 阅读：材料一  配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程可先配方，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题． 材料二  对于代数式，因为，所以，即有最小值，且当时，取得最小值为． 类似地，对于代数式，因为，所以，即有最大值，且当时，取得最大值为． 解答下列问题： 填空：①当________时，代数式有最小值为________； ②当________时，代数式有最大值为________． 试求代数式的最小值，并求出代数式取得最小值时的的值． （要求写出必要的运算推理过程） 【答案】 ①. 0 ②. -1 ③. -1 ④. 1 【解析】 【分析】（1）根据材料二得出的规律，可直接得出答案； （2）先把代数式2x2-4x+1变形为2（x-1）2-1，再根据2（x-1）2≥0，得出2（x-1）2-1≥-1，即可求出代数式取得最小值时的x的值． 【详解】（1）根据题意得： ①当x=0时，代数式2x2-1有最小值为-1； ②当x=-1时，代数式-2（x+1）2+1有最大值为1； 故答案为0，-1；-1，1．     ∵， ， ∴， 即有最小值， 当时，取得最小值． 【点睛】考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每天的销售单价应为每千克元． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． （1）设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程，求解取其符合条件的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为， 则，解得：， y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 销售单价不低于成本价，且不高于60元， 即每天的销售单价应为每千克元． 24. 如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点．并且已知， （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据，求出，进而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点F的坐标为． 令，则，当时，解得 ，． 设直线的解析式为． 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，，即点E的坐标为， ． 小问3详解】 存在． 设点P的坐标为． ， ， ． 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $