精品解析：山东省德州市武城县2025--2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度上学期第一次教学质量监测 九年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本题共10个小题、每小题4分，共40分．每小题只有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义进行解答.根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②不是整式方程，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④，整理得，不是一元二次方程； ⑤，当时，原方程不是一元二次方程． 故①③是一元二次方程，共2个， 故选：A． 2. 有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，观察数轴可知：，，，则，即可求解． 【详解】解： ∵在方程中，， 观察数轴可知：，，． ∴ ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 4. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的性质，平移的性质等知识，设，则，先根据正方形的性质，平移的性质以及等腰三角形的判定等判断出是等腰直角三角形， 得出，进而求出，然后根据“两个三角形重叠部分的面积为”列方程求解即可． 【详解】解：如图， ， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， 它移动的距离等于或， 故选：B． 5. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根．熟练掌握一元二次方程的根的定义 、根与系数的关系 以及根的判别式，是解题的关键． 分情况分析条件  的含义，当时， 当时，两种情况解答． 【详解】解：∵ ∴或． 当时，， 代入原方程，得． 化简，得． 即． ∴． 此时，，符合． 当时，， ∴． 解得． 此时原方程为 ． 即 ． 根为 ​． 满足，符合条件． ∴k的值为 或 ． 6. 某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可以先设2021年的旅游人数，根据题意可以题意可得按照两种不同的方法算得的2023旅游人数应该相等，列出相应的方程，从而解答． 【详解】解：设2021年旅游的人数为a人， 根据题意可得， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题，明确题意，得到正确的等量关系是解题的关键． 7. 抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质及判断函数值的大小是解题关键． 根据函数解析式确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性质及与对称轴的距离即可求解． 【详解】解：的对称轴为，开口向下， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； ∵， ∴， 离对称轴越近y值越大， ∴， 故选：C． 8. 用符号表示，两实数中较大的数，如，若，则的值是（ ） A. 1或或2或0 B. 1或 C. 2或0 D. 1或0 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了新定义题，准确理解题意、熟练掌握乘法公式、一元一次不等式解法、一元二次方程的解法是解答此题的关键． 【详解】解：解：时，， 时，得，得， 时，得，得， 时，；时，；时，； ∵， ①当时，，不可能得出最大值为， ②当时，， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，； ③当时，， 则， ， 或（不合题意，舍去）， 故当时，； 则综上所述：x的值为或． 故选：D． 9. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-=； ∴a、b异号，且b=-a； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c ∴abc0，故①正确； ∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴和3是关于的方程的两个根；故②正确； ∵b=-a，c=-2 ∴二次函数解析式： ∵当时，与其对应的函数值． ∴，∴a； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4；故③错误 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________ 【答案】-1 【解析】 【详解】由二次函数的定义可知自变量的最高指数为2，且系数不等于0，可得3a2-1=2；解得a=±1；又因a-1≠0；即a≠1；最终可求得a=-1． 故答案为-1. 点睛：此题主要考查了二次函数的概念，由二次函数的定义可知自变量的最高指数为2，且系数不等于0，列出方程与不等式解答是关键. 12. 调查发现：某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染__________人． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮每人传染的人数为，根据3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，列出方程进行求解即可． 【详解】解：每轮每人传染的人数为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：每轮每人传染4人； 故答案为：4． 13. 已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于的一元一次方程是解题的关键．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 方程的解是，， 方程可变形为，该方程的结构与相同， ∴的取值等于原方程中的取值， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 14. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间留两个1米的小门．若矩形围栏面积为210平方米，则栅栏BC的长是__________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 若设米，则米．根据矩形围栏的面积为210平方米，即可得出关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】解：设米，由栅栏的全长49米可得： ， 米， 又矩形围栏面积为210平方米，即， 列出方程得：． 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴栅栏的长为10米． 故答案为：10． 15. 如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有__________（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线的开口向下，对称轴及与轴交点位置判断出，，，可判断①；根据时的函数值可判断②；由抛物线的对称性以及图像可判断③；由对称轴为直线及时的函数值可判断④；由对称轴得出函数的最大值，可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图像可知，时，， ∴，故②正确， ∵对称轴为直线， ∴时与时的函数值相等， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵当时，， ∴的最大值为， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述：正确结论有②③④． 故答案为：②③④ 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 原方程可变形为， 或， ，． 17. 如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】（1）的对称轴为，的最大值为4， （2）点移动的最短路程为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，即可求出点移动的最短路程． 【小问1详解】 解：， 的对称轴为，的最大值为4， 把点代入抛物线的表达式，得， 解得，． 又因为在对称轴的右侧 ． 【小问2详解】 所在抛物线的表达式为， 抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度， 点移动的最短路程为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ． 无论实数取何值，此方程一定有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意证明，即可证明方程一定有两个实数根； （2）根据，，把变形为：，进而解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 此方程的两个实数根分别为，， ，． ， ， ， 或 答：或． 19. 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； （2）在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … （3）该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． （4）当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 【答案】（1）；， （2） 解：完善表格如下： … … … 0 … 将表格数据描点连线画出如下函数图象： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，图形的对称，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式即可得顶点坐标，令，求解一元二次方程即可得函数的图象与轴的交点坐标； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据对称性，先求出该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标，即可得新抛物线的表达式； （4）先求出当时，对应的值，然后观察函数图象，即可确定所求． 【小问1详解】 解：， 该二次函数的顶点坐标为， 令，即， 解得，， 函数的图象与轴的交点坐标为，； 故答案为：；，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：该抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为； 故答案为：． 【小问4详解】 解：当时，， 当时，二次函数中值的取值范围是． 故答案为：． 20. 某文具专柜销售一种进价为元的书包，当售价为元时，日销售量为个，国庆期间，通过市场调查发现这种书包的单价每降低元，日销售量可增加个．现准备降价销售，若该专柜销售这种书包要想平均每天获利元． （1）每个书包应售价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 【答案】（1）每个书包应售价元或元 （2）该专柜销售这种书包的利润率是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个书包应降价元，根据销售这种书包平均每天获利元列出方程，解方程即可； （2）在（1）中盈利不变的前提下，要想尽可能地让利于顾客，得出每个书包应降价6元，再根据利润率计算即可． 【小问1详解】 解：设每个书包应降价元，由题意可得：， 整理得：．解得，． 所以售价元或元 答：每个书包应售价56元或54元． 【小问2详解】 要想尽可能地让利于顾客，则每个书包应降价6元，此时，每个书包的售价为54元，利润为（元）， 利润率为． 答：该专柜销售这种书包的利润率是． 21. 某小组计划制作一个水流装置，并探究其中蕴含的数学问题．下面是该小组制作装置的活动过程及探究的问题： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，点，，，在同一平面内．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出，且呈拋物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，代表一个单位长度，水流最终落到轴上的点处 示意图 已知 轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为（） 任务一 求水流所在抛物线的函数表达式 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 【答案】任务一：水流所在抛物线的函数表达式为； 任务二：解：水流能流到圆柱形水杯内，理由： 由题意可知，圆柱形水杯最左端到点的水平距离是． 当时，． ， 水流能流到圆柱形水杯内． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用， 任务一，根据题意得到对称轴为，过点代入求解即可得到； 任务二，先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案． 【详解】解：任务一 轴，，点为水流所在抛物线的顶点， 该抛物线的对称轴为． ． 将代入， ， 解得， 水流所在抛物线的函数表达式为． 任务二 ：略 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点M，则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 （2）若关于的一元二次方程为 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线：y＝x+5与轴交于点A，直线过点B(1，0)，且与相交于点C(1，4)，若由①得到的点M在的内部，求的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由 【答案】（1）(0，2)；（2）①(m-2，m)， ②；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，根据题意写出方程的衍生点即可； （2）①用因式分解法解含参数的一元二次方程，根据题意写出该方程的衍生点； ②计算直线与x轴的交点A，计算点M所在直线与直线AB的交点，根据点M在内部列不等关系，并解出不等式的解集即可； （3）整理直线解析式，可知其过定点，根据题意，该定点是方程的衍生点，可知方程的两个根分别为3，6，最后由根与系数的关系解题即可． 【详解】（1） ， ， 的衍生点为， 故答案为：； （2）① 解得，， 的衍生点为M； ②与x轴交于点A， ， 由①得，， 令， ， 在直线上，刚好和的边BC交于点， 令y=0，则x+2=0， ， ， ； （3）存在． 直线，过定点， 的两个根为， ， ． 【点睛】本题考查解一元二次方程——因式分解、根与系数的关系、一次函数中的直线位置关系等知识是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第一次教学质量监测 九年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本题共10个小题、每小题4分，共40分．每小题只有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 6. 某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用符号表示，两实数中较大的数，如，若，则的值是（ ） A. 1或或2或0 B. 1或 C. 2或0 D. 1或0 9. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________ 12. 调查发现：某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染__________人． 13. 已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解是__________． 14. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间留两个1米的小门．若矩形围栏面积为210平方米，则栅栏BC的长是__________米． 15. 如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有__________（填序号） 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19. 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； （2）在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … （3）该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． （4）当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 20. 某文具专柜销售一种进价为元的书包，当售价为元时，日销售量为个，国庆期间，通过市场调查发现这种书包的单价每降低元，日销售量可增加个．现准备降价销售，若该专柜销售这种书包要想平均每天获利元． （1）每个书包应售价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 21. 某小组计划制作一个水流装置，并探究其中蕴含的数学问题．下面是该小组制作装置的活动过程及探究的问题： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，点，，，在同一平面内．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出，且呈拋物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，代表一个单位长度，水流最终落到轴上的点处 示意图 已知 轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为（） 任务一 求水流所在抛物线的函数表达式 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点M，则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 （2）若关于的一元二次方程为 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线：y＝x+5与轴交于点A，直线过点B(1，0)，且与相交于点C(1，4)，若由①得到的点M在的内部，求的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $