精品解析：山东省 枣庄市滕州市北辛中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

八年级第一次学业达标监测 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 等腰三角形腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 7. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则等于（　　） A. a B. C. D. 9. 如图，洛阳地铁公安监控区域警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 25 二、填空题（共6小题） 11. 的平方根是_________ 12. 中，，，高，则的周长是________． 13. 如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么______m． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 15. 已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为______． 16. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长． 18. 二次根式的计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 求下列的值 （1） （2） 20. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． （1）______； （2）①当P在边上时，的长为______（用含t的代数式表示），t的取值范围是______； ②若点P在的角平分线上，求t的值． 21. 已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 22. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 23. 在网格图中，每个小正方形边长都为1，四边形的四个顶点都在格点上． （1）与是否垂直？请说明理由； （2）求四边形周长． 24. 我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． （1）请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次学业达标监测 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 2. 在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 3. 等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：设ED=x，则AE=6-x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： BE2=AB2+AE2， 即x2=9+（6-x）2， 解得：x=， ∴ED=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 5. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 6. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 7. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、立方根，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 8. 有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则等于（　　） A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了二次根式的性质与化简、有理数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简、有理数与数轴． 根据实数与数轴的关系确定a和b的符号，再化简即可． 【解答】解：观察数轴可知： ，当时，， ． 故选：B． 9. 如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（共6小题） 11. 的平方根是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±. 【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±. 故正确答案为±. 【点睛】此题考查了算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义. 12. 中，，，高，则的周长是________． 【答案】36或48 【解析】 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况画图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①如图1， 在中，， 在中，， 则， ∴的周长是； ②如图2， ∵，， ∴， ∴的周长是， 综上，的周长是36或48， 故答案为：36或48． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用分类讨论求解是解答的关键． 13. 如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 利用勾股定理先求出，再求出，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点，求出的长度是解题关键． 15. 已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确计算是解题的关键．先化简二次根式，再根据题意求出的最小值即可． 【详解】解：， 二次根式的值是正整数，其中为整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 16. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理求出，再由线段垂直平分线的性质得，设，则，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即线段的长为， 故答案为： 三、解答题（共72分） 17. 如图，在中，，平分，于点E，若，，求长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：平分，，， ，， ， ． 18. 二次根式的计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）0 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据利用乘法分配律计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先计算二次根式的除法，再根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可； （4）先运用平方差公式和二次根式的除法法则计算，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 求下列的值 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先移项，然后利用直接开平方，即可求出答案； （2）先直接开立方，即可求出答案． 【小问1详解】 ， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解方程，熟练掌握求平方根和求立方根的方法是解本题的关键． 20. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． （1）______； （2）①当P在边上时，的长为______（用含t的代数式表示），t的取值范围是______； ②若点P在的角平分线上，求t的值． 【答案】（1）4 （2）①，；②点P在的角平分线上时，t为或． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，解答即可； （2）①根据题意，得，当P边上时，，列式解答即可； ②点P在的角平分线上，一是点P与点A重合，二是点P在上，平分，解答即可． 本题考查了勾股定理，动点问题，角的平分线，熟练掌握勾股定理，角的平分线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 【小问2详解】 ①解：根据题意，得， 当点P在上，，此时，； 当P在边上时，，且， 故，且， 故答案为：，； ②解：点P在的角平分线上， 当点P与点A重合时，此时， 解得； 当点P在上，平分时， 过点P作于点Q， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 故当t为或时，点P在的角平分线上． 21. 已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 22. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 23. 在网格图中，每个小正方形的边长都为1，四边形的四个顶点都在格点上． （1）与是否垂直？请说明理由； （2）求四边形的周长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图所示，连接， 由勾股定理得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ∴四边形的周长． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 24. 我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． （1）请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结果） 【答案】（1）①见详解；②见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用、二次根式的加减以及裂项相消法求和．熟练掌握分母有理化的方法（利用平方差公式将分母中的根式转化为有理数），以及识别式子的规律用裂项相消简化计算是解题的关键． （1）①参照方法一利用平方差公式，给分子分母同乘，实现分母有理化即可．②参照方法二，将分子变形为，再利用平方差公式因式分解，然后约分化简． （2）先分别用分母有理化的方法化简每一项，再去括号进行加减运算． （3）先将每一项进行分母有理化，然后观察式子规律，通过裂项相消法计算． 【小问1详解】 解：① ； （1）② ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $