专题01 二次函数的图象和性质的三种考法（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题01 二次函数的图象和性质压轴题的三种考法 目录 1 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的应用 2 类型三、二次函数的平移 3 4 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 顶点式速化三步： 1. 提 a：y＝a(x²＋(b/a)x)＋c； 2. 配方：取 x 系数一半平方 [(b/2a)²]，加减得   y＝a[(x＋b/2a)²－(b²/4a²)]＋c； 3. 整理：y＝a(x＋b/2a)²＋(4ac－b²)/4a。 口诀：提系数、半平方、移常数。顶点坐标(－b/2a, (4ac－b²)/4a)一眼即得。 例1．已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 变式1-1．把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为 ． 变式1-2．当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 ． 变式1-3已知二次函数，记的最大值为，最小值为． (1)当时，求的值； (2)若时，求的值； (3)若总成立，则写出的取值范围为_______． 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的应用 先化顶点式y=a(x-h)²+k，一眼得开口方向、对称轴x=h、顶点(h,k)。求最值：看a符号；求增减：左降右升或左升右降；求零点：令y=0用求根公式；比大小：画草图，利用对称性。应用题先建模→定a、b、c→顶点求最值。 例2．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式2-1．已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 变式2-3．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)函数图象的顶点坐标为___________(用a表示)； (2)若函数图象经过点，求证：； (3)已知函数图象经过点，，若对于任意的都满足，求的取值范围． 类型三、二次函数的平移 口诀：左右横，上下纵，顶点跟着走。 y=a(x−h)²+k 先定位顶点(h,k)。 平移规律： 左移m→h−m，右移m→h+m；上移n→k+n，下移n→k−n。 若给出原式y=ax²+bx+c，先配方得顶点再平移，或用“横移对x，纵移对整体”直接写新式： y=a(x−h±m)²+(k±n)。 画草图验证开口不变、对称轴平移即可。 例3．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 变式3-1．要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 变式3-2 已知二次函数图象的对称轴是直线． (1)求证：． (2)将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 变式3-3 已知二次函数（为常数且）． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 一、单选题 1．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． 2．二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．定义：已知二次函数，对于m、n为实数（），若当时，函数值y的取值范围为，则称为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数的图象上有两点和，其中，若为函数的“翻倍取值范围”，则e的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当四边形为平行四边形时， D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 二、填空题 5．已知一次函数（a，b是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与x轴的交点坐标为； ③函数图象上两点，满足，那么； ④关于x的不等式的解是； ⑤关于x的方程至少有一个实数解． 其中正确的是 （填写序号即可）． 三、解答题 6．若函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象． (1)求函数的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，，三点都在函数的图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)①若，顶点的纵坐标为，当时，函数的最大值，最小值，且，求的解析式； ②在①的条件下，对于上任意一点总有恒成立，求实数的最小值． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 8．函数满足，则称函数是的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则的“融合函数”为． (1)若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值； (2)若为二次函数，且，在时取得最值，函数为一次函数，且的“融合函数”为． （i）用含的式子表示和； （ii）当时，求函数的最小值；（用含的式子表示） 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点、在抛物线上，当时，求的取值范围； (3)点在抛物线上．若对于，都有，求的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 11．小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： (1)可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； (2)在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 12．已知抛物线L的解析式为（m，n为常数）． (1)若抛物线L的顶点在第四象限，且，求m的取值范围； (2)若抛物线L经过点，将抛物线L经过平移后得到抛物线S，点P的对应点为点，其中．抛物线仍然经过点P，求m的最小值． 13．已知二次函数，一次函数，其中，为常数且． (1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； (2)当时，，求，的值； (3)点、分别在二次函数和一次函数图像上． ①当，时，求； ②若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 14．已知是方程的两个实根，求的最值． 15．已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，当时，的最大值是2，且当时，该函数图象的最高点为，最低点为，求的面积（为原点）； (3)若，，三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质压轴题的三种考法 目录 1 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的应用 6 类型三、二次函数的平移 9 15 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 顶点式速化三步： 1. 提 a：y＝a(x²＋(b/a)x)＋c； 2. 配方：取 x 系数一半平方 [(b/2a)²]，加减得   y＝a[(x＋b/2a)²－(b²/4a²)]＋c； 3. 整理：y＝a(x＋b/2a)²＋(4ac－b²)/4a。 口诀：提系数、半平方、移常数。顶点坐标(－b/2a, (4ac－b²)/4a)一眼即得。 例1．已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得，再根据对称性可得，进而得到直线上纵坐标为t的点的横坐标为；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴， ∴； ∴ ∵设点所在的定直线为， ∴直线解析式， ∵点A在二次函数图象上， ∴， ∵A，B两点纵坐标相同， ∴A，B两点关于对称轴对称， ∴则， ∵直线解析式， ∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为， ∵线段与定直线没有公共点， ∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：； 当点A在店B的左侧时，即，有，解得：． 综上，m的取值范围为或． 故答案为：，或． 变式1-1．把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解． 【详解】解：， 二次函数由一般式化成顶点式为， ， 解得：， ， 故答案为：． 变式1-2．当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，即，则最小值为，最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， ②当时，即， ，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）或， ，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（舍）， ③当时，即，则最大值为，最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， 综上所述，或， 故答案为：或． 变式1-3已知二次函数，记的最大值为，最小值为． (1)当时，求的值； (2)若时，求的值； (3)若总成立，则写出的取值范围为_______． 【答案】(1)8 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，涉及二次函数的性质、分类讨论思想以及不等式恒成立的条件． （1）将代入求出解析式，再解答即可； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分，或分别讨论即可； （3）根据（2）中最值解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数为， 对称轴为直线，因此，最值在端点处： 当时，； 当时，． 故． （2）解：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 情况1：，即， 最小值； 到1距离更远时，最大值，， 解得：或（舍去）． 到距离更远时，最大值，， 解得：（舍去）或． 情况2：或， 当时：在范围内，y随x增大而增大， 则， 则， 解得：（舍去，因）． 当时：在范围内，y随x增大而减小， 则， 则， 解得：（舍去，因）． 综上，或． （3）解：函数恒成立，即最小值： 顶点在范围内时，恒成立； 顶点在范围外或： 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的取值范围为． 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的应用 先化顶点式y=a(x-h)²+k，一眼得开口方向、对称轴x=h、顶点(h,k)。求最值：看a符号；求增减：左降右升或左升右降；求零点：令y=0用求根公式；比大小：画草图，利用对称性。应用题先建模→定a、b、c→顶点求最值。 例2．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点和的纵坐标大小，需分析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小用作差法； 【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为. ∴   （代入），  （代入）. ∴   .    分析表达式的符号： 当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确. 当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误. 当：，乘积为负，故 ， 当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误. 故选项：A 变式2-1．已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用二次函数的平移规律可知，抛物线向右平移m个单位得到，结合题意得到，，，解得，，得出抛物线的图象开口向上，对称轴为，再比较点到抛物线对称轴的距离，即可得出之间的大小关系． 【详解】解：， ∴抛物线向右平移m个单位得到， ∴抛物线的解析式为， ∴，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴为， ∵点都在抛物线上，，，，且， ∴． 故选：A． 变式2-2．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的t不存在， 综上，t的取值范围为． 故答案为：． 变式2-3．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)函数图象的顶点坐标为___________(用a表示)； (2)若函数图象经过点，求证：； (3)已知函数图象经过点，，若对于任意的都满足，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合． （1）对二次函数解析式配方即可求解； （2）把点代入函数解析式中，求得p、q的表达式，再相乘，利用非负的性质即可证明； （3）由题意知，抛物线开口向上，对称轴为直线；对于任意的都满足，三点A、B、C存在两种情况，利用二次函数的图象与性质列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； 故答案为：； （2）证明：把点分别代入函数解析式中， 得：， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，而， ∴点B总在抛物线对称轴的右边； ∵， ∴点总在点C的左边， ∴对于任意都满足，A、B、C三点存在两种情况： ①如图所示， 则当时，， ∴，其中， 解得：； ②如图所示， 当时，且， ∴， 即，其中， 解得：； 综上，a的取值范围为或． 类型三、二次函数的平移 口诀：左右横，上下纵，顶点跟着走。 y=a(x−h)²+k 先定位顶点(h,k)。 平移规律： 左移m→h−m，右移m→h+m；上移n→k+n，下移n→k−n。 若给出原式y=ax²+bx+c，先配方得顶点再平移，或用“横移对x，纵移对整体”直接写新式： y=a(x−h±m)²+(k±n)。 画草图验证开口不变、对称轴平移即可。 例3．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 【答案】C 【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行即可判断D． 【详解】解：记抛物线与分别为抛物线和抛物线， A、， ， ， 无论取何值，总是负数， 故A正确，不符合题意； B、∵抛物线与交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， ∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故B正确，不符合题意； C、 ， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， ， 当，随着的增大，的值减小， 故C不正确，符合题意； D、设与轴交于点， ， ， 由C可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵，，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 变式3-1．要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 变式3-2 已知二次函数图象的对称轴是直线． (1)求证：． (2)将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）根据抛物线对称轴公式计算可得结论； （2）先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移写出新抛物线顶点坐标，根据新抛物线顶点在x轴上即可解决； （3）先求出当时，该函数有最小值为，再求出抛物线过点和，根据题意结合图象求出结论即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴是直线， ， ， ； （2）解：， ， 二次函数顶点坐标为， 将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 其顶点也向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 则平移后新的函数图象的顶点坐标为， 平移后新的函数图象的顶点在轴上， ， ； （3）解：当时，抛物线表达式， 二次函数图象顶点坐标为， ， 当时，该函数有最小值为， 当时，， 抛物线图象过点， 二次函数图象的对称轴是直线， 对称性可知抛物线还过点， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为8， 由上图可知，． 变式3-3 已知二次函数（为常数且）． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为； (2)①；② 【分析】（1）由，即可求解； （2）①该函数图象向右平移3个单位后得到，图象经过原点，则，即可求解； ②先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）， 该抛物线的顶点坐标为； （2）①该函数图象向右平移3个单位后得到， 经过原点． ， ； ②∵， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∵时，二次函数的最大值与最小值的差为4， i）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值； ∴， 解得：舍去； ii）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值， ∴，符合题意； iii）当时，当时函数有最大值，当时函数有最小值， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式、函数的最值等，分类求解和数形结合是解题的关键． 一、单选题 1．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出的坐标，根据轴，得到点的纵坐标为，进而推出点的纵坐标为：，根据点在轴的正半轴上，求出的值，得到抛物线向下平移了3个单位，设抛物线向右平移了个单位，得到，根据平移后的抛物线仍过点，求出的值，进而求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴点沿着轴向上平移了个单位， ∴点也沿着轴向上平移了个单位，即：点的纵坐标为：， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点沿着轴向下平移了3个单位，即抛物线向下平移了3个单位， ∵点在轴的正半轴上， ∴设抛物线向右平移了个单位，则：新的抛物线的解析式为：， ∵平移后的抛物线仍然过点， ∴，解得：或（舍去）， ∴抛物线向右平移了个单位， ∴点平移后的坐标为：，即：， ∴； 故选D． 2．二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由当时，，故图象过，又过，可得抛物线的对称轴是直线，再向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线．，又直线与新抛物线有两个交点，，可得，结合抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，即的中点在对称轴的左侧，进而可得，最后计算即可得解． 【详解】解：由题意，当时，， 二次函数的图象过， 又∵二次函数的图象过， 抛物线的对称轴是直线， 向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线， 直线与新抛物线有两个交点，， ，， ， ， 又∵抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， ， ， 又∵， ． 故选：D． 3．定义：已知二次函数，对于m、n为实数（），若当时，函数值y的取值范围为，则称为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数的图象上有两点和，其中，若为函数的“翻倍取值范围”，则e的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性，求出值，进而求出函数解析式，进而求出对称轴，根据增减性，结合新定义，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，其中， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵为函数的“翻倍取值范围”， ∴当时，则：， 解得：或或或； 均不符合题意，舍去； 当时，则：，解得：， 当时，则：， ∴；符合题意； 当时，则：， 解得：或（舍去）； 当时，则：， 解得：或（舍去）；或（舍去）； ∴，， ∵， 故这种情况不符合题意；舍去； 综上：或； 故选A． 4．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当四边形为平行四边形时， D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 【答案】D 【分析】本题考查了本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到A正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出C正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断D不正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故A正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故B正确； 令，则， ， 根据顶点坐标公式， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故C正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故D不正确； 故选：D． 二、填空题 5．已知一次函数（a，b是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与x轴的交点坐标为； ③函数图象上两点，满足，那么； ④关于x的不等式的解是； ⑤关于x的方程至少有一个实数解． 其中正确的是 （填写序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用一次函数的性质可判断①②；利用不等式的性质可判断③④；解方程可判断⑤． 【详解】解：一次函数，且， 当时，则， 它的图象经过点，故①正确； 当时，则， ， ∴直线与轴的交点坐标为，故②正确； ∵函数图象上两点满足，即增大时，减小， 随的增大而减小， ， ∵， ，故③正确； 已知，移项可得． ∵， ，代入， 不等式变为． 当，即时，，无法确定； 当，即时，，也无法确定， 故④错误． 当时，方程可化为， 即，． ∵，则， 当时，有解； 当时，，则，方程有解； 当时，方程化为，即， 同样结合，能找到使方程成立的值， 关于的方程至少有一个实数解， 故⑤正确． 综上，正确的是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题 6．若函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象． (1)求函数的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，，三点都在函数的图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)①若，顶点的纵坐标为，当时，函数的最大值，最小值，且，求的解析式； ②在①的条件下，对于上任意一点总有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，． (3)①② 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，不等式组，一元二次方程，翻折，掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次函数顶点坐标公式计算，即可解答； （2）将，，分别代入，求出，根据总成立，得到，即可得到不等式组，再分类讨论：当时，当时，即可解答． （3）①当时，，根据题意可得到函数的解析式为，再分类讨论：当时，当时，当时，逐一分析求解即可；②将代入，并化简得，对于上任意一点，不等式恒成立，则需取最大值，得，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∴函数的顶点坐标为． （2）将，，分别代入，得 ∵总成立， ∴即， 化简得， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，当时，；当时，． （3）①当时，， 由函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象，函数的顶点坐标为，顶点的纵坐标为，得 新函数的解析式为， 当时，二次函数的y随x的增大而减小， ∴，， ∵， ∴， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，二次函数经过顶点，且到坐标轴的距离大于或等于m到坐标轴的距离，由二次函数的图像可知， 对应的y值大于或等于对应的y值， ∴，， ∵，不符合题意，舍去． 当时，二次函数经过顶点，且m到坐标轴的距离大于到坐标轴的距离，由二次函数的图像可知， 对应的y值大于对应的y值， ∴，， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴函数的解析式为． ②将代入，得 ， 化简，得 ， ， ∵对于上任意一点，总有恒成立， ∴需取最大值， ∵ ， ∴当，即时，的最大值为． ∴，即取得最小值为． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 8．函数满足，则称函数是的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则的“融合函数”为． (1)若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值； (2)若为二次函数，且，在时取得最值，函数为一次函数，且的“融合函数”为． （i）用含的式子表示和； （ii）当时，求函数的最小值；（用含的式子表示） 【答案】(1)6 (2)（i）；；（ii） 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，正确理解题意，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先写出“融合函数”，再将代入即可求解； （2）（i）先得到，根据一次函数的定义求出，再根据二次函数的性质求解； （ii）由（i）得，则对称轴为直线，分三种情况讨论：①若；②若；③若，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得的“融合函数”为， 将点函数解析式中， 可得，解得； （2）解：（i）， 为一次函数， ，即． 在处取得最值， ，即， ． （ii）由（i）得， 对称轴为直线． ①若， 则当时， ； ②若， 则当时， ； ③若， 则当时， ． 综上：． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点、在抛物线上，当时，求的取值范围； (3)点在抛物线上．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）抛物线开口向上，对称轴为直线，结合其性质进行分析； （3）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ， 顶点为； （2）解：由题意可得，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∵点、在抛物线上，且，即点距离对称轴比点近， ∴，即； （3）解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 综上所述，或． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）先由求出，，，设对称轴为直线，则，计算得到，再分别判断每个因式的正负即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 设对称轴为直线， 则，即， ∵点和是抛物线上的两个点， ∴ ∵， ∴， 即 ， ∵，， ∴，， 即， ∵，， ∴， 即． 11．小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： (1)可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； (2)在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 【答案】(1)平移 (2)①② 【分析】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点（或直线）的对称点． （1）观察解析式可得答案； （2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可． 【详解】（1）解：可以通过平移得到， 故答案为：平移； （2）抛物线关于原点对称的抛物线解析式为，即， 和关于原点中心对称，故①正确； 设为抛物线上任意一点，其关于的对称点坐标为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点关于的对称点都在上， 和关于点中心对称，故②正确； 设为抛物线上任意一点，其关于直线的对称点为， 在抛物线上， 和关于直线轴对称， 为抛物线上任意一点，其关于的对称点为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点，其关于的对称点都在抛物线上， 抛物线和抛物线关于对称，故③错误； 正确的有①②， 故答案为：①②． 12．已知抛物线L的解析式为（m，n为常数）． (1)若抛物线L的顶点在第四象限，且，求m的取值范围； (2)若抛物线L经过点，将抛物线L经过平移后得到抛物线S，点P的对应点为点，其中．抛物线仍然经过点P，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移，解不等式组，综合运用相关知识是解题的关键． （1）将抛物线L的解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，根据顶点在第四象限，且可得到关于m的不等式组，求解即可； （2）根据抛物线L的解析式为过点，得到，则抛物线L的解析式可化为，根据平移得到抛物线S的解析式为，又由抛物线S过点，可得，整理并结合即可求的m的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线L的解析式， ∴抛物线L的顶点坐标为， ∵顶点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴不等式化为， 解得：． （2）解：∵抛物线L的解析式为过点， ∴， ∴， ∴抛物线L解析式， ∵点的对应点为点且经过点P， 可知抛物线向左平移t个单位后向下平移个单位 ， ∴抛物线L平移后对应的抛物线S的解析式为， 即， ∵抛物线S过点， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴m的最小值为． 13．已知二次函数，一次函数，其中，为常数且． (1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； (2)当时，，求，的值； (3)点、分别在二次函数和一次函数图像上． ①当，时，求； ②若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①或1；② 【分析】（1）配方得抛物线顶点，将此点代入一次函数解析式，即可求解； （2）由得当时，图像关于直线对称，①当时，时，，时，； ②当时，时，，时，，即可求解； （3）①分别将代入解析式得，即可求解； ②，由抛物线上存在两个不同的点得方程有两个不相等的实数根，由根的判别式，即可求解； 【详解】（1）证明： ， 抛物线顶点， 把代入一次函数，得， 二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）解：由（1）可知，抛物线对称轴为直线， ， 当时，图像关于直线对称． ①当时， 时，， 时，， ， 解得； ②当时， 时，， 时，， ， 解得：； 故：或； （3）解：①当，时， ， ， 分别将代入得， ， 解得：或1； ②由题意得 ， 整理得， 抛物线上存在两个不同的点， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式；能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解，并能将二次函数与一次函数交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题是解题的关键． 14．已知是方程的两个实根，求的最值． 【答案】的最小值为 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入，由得到，再利用二次函数图像与性质求出最值即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个实根， ，，且， ，即， ， ，且， ，对称轴为，令，且， 对于抛物线，它的开口向上，当时，的值随着的增大而增大， 当时，的值取最小值，最小值为． 【点睛】本题考查利用二次函数图像与性质求最值，涉及一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与判别式的关系等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 15．已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，当时，的最大值是2，且当时，该函数图象的最高点为，最低点为，求的面积（为原点）； (3)若，，三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在， 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解即可； （2）由可得抛物线开口向下，根据函数最大值为2可得的值，从而可得点的坐标，进而求解； （3）由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解． 【详解】（1）解：（为常数，且）， 该二次函数图象的顶点坐标； （2）解：， 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 当时，取到在上的最大值为2， ， ， ， 当时，取到在上的最小值， ，， 设直线解析式为， 将，代入得， 解得， ， 令，解得， 直线与轴交点坐标为， 如图， ； （3）解：如图，当，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， 抛物线开口向下，即时，满足题意． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称轴、二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质、对称轴、顶点坐标的求法是解题的关键，学会采用数形结合的思想来进行求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $