专题03 二次函数中线段、面积、周长最值问题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题03 二次函数中线段、面积、周长最值问题 目录 1 类型一、二次函数中求线段及线段和最值问题 1 类型二、二次函数中求周长最值问题 9 类型三、二次函数中求面积最值问题 17 26 类型一、二次函数中求线段及线段和最值问题 步骤： 1. 画图：确定抛物线开口、顶点、轴； 2. 设参：动点在抛物线 y=a(x–h)²+k 上，坐标(x, ax²+bx+c)； 3. 表线段：用距离公式或一次函数表长，得二次函数； 4. 求极值：配方或顶点公式求最值； 5. 和值：多段相加后化为单二次函数，同法求极值。 口诀：化距为二次，配方取顶点。 例1．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，求出，将点C沿y轴向下平移2个单位，得到点D，连接，，证得四边形是平行四边形，于是可得，于是得到，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A，B， 当时，得：， 解得：， ，， ， ， ， 点C沿y轴向下平移2个单位得到点D，如图，连接，， 线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方）， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当D、Q、B三点共线，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， 由平移的性质可得：点D的纵坐标， ， 设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ， 故选：B． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 变式1-1．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点点在点的左侧，其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，若抛物线与轴的交点为，求点到直线距离的最大值； (3)延长线段交轴于点，当时，将沿方向平移得到，将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)点到直线距离的最大值为 (3)是， 【分析】（1）对，令，可得或，从而得，，由对称性可求出对称轴； （2）当时，二次函数表达式为，画出图象如图所示，作于点，即求的最大值．作轴交于点，由待定系数法可知直线的表达式为，，设，则，故的长度关系式为，从而知的最大值为，由等腰直角三角形的性质可知的最大值为； （3）过点作轴于点，如图所示，设，则，，由，则，将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，根据平移的性质可得平移后对应点的坐标分别为，，，所以抛物线的对称轴为直线，从而得抛物线的解析式为，联立，可解得，从而知抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：， 令， 得或， 即，， 对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：当时，二次函数表达式为，画出图象如图所示， 令，则， ， 作于点，作轴交于点， ，， 由待定系数法可知直线的表达式为，， 设，则， 故， 则，因为的最大值为， 的最大值为． 即点到直线距离的最大值为． （3）解：抛物线与是否交于定点，理由如下： 过点作轴于点，如图所示， 设，则，， ， ， 将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位， 又，，， ，，， 故抛物线的对称轴为直线， 抛物线的解析式为， 由， 解得， 抛物线与交于定点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，二次函数的平移，抛物线过定点，解题关键是熟练掌握二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的运用． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． 变式1-3如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当线段长度最大时，求点的坐标； 【答案】(1)； (2)M点的坐标为； 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形三边关系，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出直线的解析式为，设，则，，其中，可得，根据二次函数性质即可求解； 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，可得直线的解析式为， 设，则，，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值， ∴当线段长度最大时，M点的坐标为； 类型二、二次函数中求周长最值问题 定轴抛物线，设动点坐标(x,ax²+bx+c)。 周长P=2(横距+纵距)，将横距、纵距分别表为x的一次式，平方后得二次函数。 配方得P(x)=a(x-h)²+k，顶点处取最值，轴左右验端点。 口诀：化周长为二次，配方顶点定最值。 例2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 变式2-1．已知抛物线与x轴交于，B两点（A在B左边），与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点（不与B，C重合），求P点到直线距离的最大值，并求此时点P的坐标； (3)点P是直线下方抛物线上一动点（不与B，C重合），当于点D，平行于y轴与直线交于点M时，请直接写出周长的最大值． 【答案】(1)， (2)当时，P点到直线距离的最大值为：，此时点 (3)周长最大值为． 【分析】（1）把与代入抛物线，再建立方程组求解即可； （2）过点作轴交交于点，设，则，，再利用面积公式建立二次函数求解最大面积，进一步利用面积法求解最大距离即可； （3）证明，可得，可得，由（2）得：，周长为，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点（A在B左边），与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 当， ∴， 解得：，； ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：． （2）解：过点作轴交于点， ∵抛物线为，直线， 设，则， ∴， 则， ∵， ∴当时，面积有最大值，最大值为：，此时点； ∵， 当面积有最大时，到的距离最大； 最大距离为：； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴周长为； ∴周长为， ∵， ∴当时，周长最大， 最大值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，点到直线的距离，周长的最值，二次函数的性质，理解题意，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 变式2-2．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 变式2-3．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； 类型三、二次函数中求面积最值问题 设动点坐标，用一次或二次函数表底、高，面积S化为二次函数；配方取顶点值，注意定义域端点比较。 例3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过点作轴交于点，交轴于点，由得，当时，，则，，由，得，，从而得出点，求出直线的函数表达式为，设，则，，则，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （）同（）理可得解析式为，设，由在直线上方，，则，然后找出临界点，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得，    ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点， 由得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∴ ， ， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值为； （3）解：同（）理可得解析式为， 设， ∵在直线上方，， ∴， 如图，当点在抛物线上时，， ， ∴， 解得， ， 当与重合时，此时， 当与重合时，此时， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的的取值范围为或． 变式3-1．如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了正切值的计算，动点与线段，二次函数图象的性质，理解点的运用，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据正切值的计算得到，设运动时间为，用含的式子表示出线段的长，由面积公式得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 解得，， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，设运动时间为， ∴点运动的时间为，点运动时间为， ∴，，则， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 故答案为： ． 变式3-2 如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为D．过O作射线．过顶点D平行于x轴的直线交射线于点在x轴正半轴上，连结． (1)求该抛物线的解析式； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为．问：当t为何值时，四边形为直角梯形？ (3)若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为，连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)当时，的面积最小值为， 【分析】（1）将A的坐标代入，可得a的值，即可得到抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式易得顶点D的坐标，作轴于E，可得、、的长，根据直角梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案； （3）易证是等边三角形，作轴于F，可得、关于t的关系式，将四边形的面积用含t的代数式表示出来，利用二次函数的性质可求得四边形面积的最小值及此时t的值，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 即； （2）解：如图， ∵D为抛物线的顶点， ∴， 作轴于E，则，，， ∴， ∵，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，四边形是直角梯形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴当t等于时，对应四边形是直角梯形； （3）解：存在某个时刻，能够使四边形的面积最小．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴； 如图2，作轴于F，则， ∴ ， ∵， ∴当时，， 此时，，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，直角梯形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合准确作出辅助线是解题的关键． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 一、解答题 1．如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线于，连接、，由轴对称的性质可得，从而可得的周长的最小值为，再利用勾股定理计算即可得解； （3）将抛物线函数解析式化为顶点式得出，，从而可得，，求出直线的解析式为，则，，，从而可得，，，连接，则四边形的面积为，再结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵拋物线经过，，三点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交直线于，连接、， ， 由题意可得，点、关于直线对称， ∴， ∵的周长，其中为定值， ∴的周长的最小值为， ∵，，， ∴，， ∴周长的最小值为； （3）解：∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m， ∴， ∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G， ∴，， ∴，，， 如图，连接， ， ∴四边形的面积为 ， ∵，， ∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 3．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 4．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标； (3)如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称最短路线问题、锐角三角函数定义，通过确定点F点来求最小值，是本题的难点． （1）根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得解析式； （2）求得，根据求出，，设，由得，得出，解得，（舍去），可得点； （3）在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E，所以的最小值为，则四边形的周长最小值为． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴ ∴； （3）解：在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为：， ∵，，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：． 5．如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为； 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得解得，即可得抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，设，求出，直线BC解析式为，可得，，由，可得，即，故，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，解直角三角形等知识，能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设， 在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，抛物线对称轴为直线，轴， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； 6．已知抛物线经过点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于S、T两点，为抛物线上A、T之间的动点，过点作轴于点于点，求的最大值； (3)如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线，直线交抛物线于P、Q两点，已知点，连接分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线交于点，设，则，可得，，进而得到，，解直角三角形得到，则可得到，据此可得答案； （3）根据题意可得，设直线的解析式为，联立得，，则可得到，同理可得；联立得，则，据此可求出；设直线的解析式为，联立得，则可得到，可求出，则直线的解析式为，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于， ∴，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线交于点， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）证明：∵平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线， ∴， 设直线的解析式为， 联立得，， ， ， 同理可得， 联立得， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 联立得， ， ， ， 直线的解析式为， 在中，当时，， 直线过定点． 7．已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 8．如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，与轴另一个交点是，作直线． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请求出线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请结合图象直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）求出直线的解析式为，设，则， 求得，求出，求出的最大值即可解答问题； （3）设，得出，得到，由求得，根据线段与抛物线有交点，结合图像可知点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴ ∴ ∴， 令，得 解得， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴，   过点作轴，交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则， 当点恰好在抛物线上时，则， ∴， 当时， 解得：           ∵线段与抛物线有交点， ∴结合图像可知点M的横坐标的取值范围是： 或． 10．已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)①；；② (2)4 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． （2）解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数中线段、面积、周长最值问题 目录 1 类型一、二次函数中求线段及线段和最值问题 1 类型二、二次函数中求周长最值问题 9 类型三、二次函数中求面积最值问题 17 26 类型一、二次函数中求线段及线段和最值问题 步骤： 1. 画图：确定抛物线开口、顶点、轴； 2. 设参：动点在抛物线 y=a(x–h)²+k 上，坐标(x, ax²+bx+c)； 3. 表线段：用距离公式或一次函数表长，得二次函数； 4. 求极值：配方或顶点公式求最值； 5. 和值：多段相加后化为单二次函数，同法求极值。 口诀：化距为二次，配方取顶点。 例1．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点点在点的左侧，其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，若抛物线与轴的交点为，求点到直线距离的最大值； (3)延长线段交轴于点，当时，将沿方向平移得到，将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 变式1-3如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当线段长度最大时，求点的坐标； 类型二、二次函数中求周长最值问题 定轴抛物线，设动点坐标(x,ax²+bx+c)。 周长P=2(横距+纵距)，将横距、纵距分别表为x的一次式，平方后得二次函数。 配方得P(x)=a(x-h)²+k，顶点处取最值，轴左右验端点。 口诀：化周长为二次，配方顶点定最值。 例2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 变式2-1．已知抛物线与x轴交于，B两点（A在B左边），与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点（不与B，C重合），求P点到直线距离的最大值，并求此时点P的坐标； (3)点P是直线下方抛物线上一动点（不与B，C重合），当于点D，平行于y轴与直线交于点M时，请直接写出周长的最大值． 变式2-2．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 变式2-3．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； 类型三、二次函数中求面积最值问题 设动点坐标，用一次或二次函数表底、高，面积S化为二次函数；配方取顶点值，注意定义域端点比较。 例3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 变式3-1．如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是 变式3-2 如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为D．过O作射线．过顶点D平行于x轴的直线交射线于点在x轴正半轴上，连结． (1)求该抛物线的解析式； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为．问：当t为何值时，四边形为直角梯形？ (3)若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为，连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 一、解答题 1．如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 4．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标； (3)如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值． 5．如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； 6．已知抛物线经过点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于S、T两点，为抛物线上A、T之间的动点，过点作轴于点于点，求的最大值； (3)如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线，直线交抛物线于P、Q两点，已知点，连接分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线经过一个定点． 7．已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 8．如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，与轴另一个交点是，作直线． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请求出线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请结合图象直接写出点的横坐标的取值范围． 10．已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $