第1章 二次函数 章末训练 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

第1章二次函数章末训练2025-2026学年 湘教版九年级下册 一、选择题 1. 下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝3﹣2x C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝x3﹣2x+5 2.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 3．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4.若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5.已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 6.将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．抛物线的对称轴是直线 ． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 14．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 16.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 三、解答题 17.如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、C（0，-3）两点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围． 18.如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 19.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 20．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 21．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 第1章二次函数章末训练2025-2026学年 湘教版九年级下册 一、选择题 1. 下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝3﹣2x C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝x3﹣2x+5 【答案】C 2.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 3．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4.若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 5.已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 【答案】C 6.将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 7．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 8.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 12．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 【答案】1或 14．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 16.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 三、解答题 17.如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、C（0，-3）两点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围． 【答案】解：（1）将和代入 解得： 抛物线的解析式为： 顶点坐标为：； （2）如图：∵ ∴A(-1,0),B(3,0) ∵0＜x＜3, ∴当x=-1，函数有最小值-4 当x=3时，函数有最大值0 ∴． 18.如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米(2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 19.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）由题意得：（台） 答：该月可售出350台； （2）由题意得： 由供货商对售价和销售量的规定得：，即 解得： 答：所求的函数关系式为，售价的范围为； （3）由题意和（2）可得： 整理得： 由二次函数的性质可知：当时，随x的增大而减小 则当时，取得最大值，最大值为（元） 答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元． 20．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 21．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ∴ ，解得， ∴二次函数的表达式为：； (2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP， ∴BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为， 此时的周长也最小， 设直线AC的解析式为：，代入， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为：， 二次函数的对称轴为，代入，得到， ∴P点坐标为(1,2)， 此时的周长最小值=； (3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 分类讨论： 情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ， 此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点， 由菱形对角线互相垂直知：， ∴ ，解得， ∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)； 情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)； 情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP， 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)； 纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $