第13练 双曲线的几何性质（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第13练　双曲线的几何性质 一、选择题 1．双曲线－＝1的顶点到渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　取双曲线其中一个顶点为(，0)，一条渐近线为y＝x， 则顶点到渐近线的距离d＝＝. 2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线－y2＝1是黄金双曲线，则a等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知可得＝，解得a＝. 3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　由题意知F1F2＝2c，△F1PF2是以∠F1PF2为直角的直角三角形， ∴F1P2＋F2P2＝F1F， 又根据双曲线的定义得F1P－F2P＝2a， 平方得F1P2＋F2P2－2F1P·F2P＝4a2， 从而得出F1F－2F1P·F2P＝4a2， ∴F1P·F2P＝2(c2－a2)， 又△PF1F2的面积等于a2， 即F1P·F2P＝a2， 则c2－a2＝a2， ∴c＝a， ∴双曲线的离心率e＝＝. 4．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，若C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B.x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案　A 解析　由题意知椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝， 由e1e2＝·＝·＝， 解得2＝，又a>b>0，所以＝， 所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x， 即x±y＝0. 5．(多选)下列关于双曲线x2－＝1的四个说法中正确的是(　　) A．以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为 B．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点 C．与双曲线－x2＝1有相同的渐近线 D．过右焦点的弦长的最小值为4 答案　BC 解析　由双曲线x2－＝1， 可知a＝1，b＝，c＝， 故以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为4××1×＝2，故A错误； 双曲线x2－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点(±，0)，故B正确； 双曲线x2－＝1与双曲线－x2＝1有相同的渐近线y＝±x，故C正确； 设过双曲线x2－＝1的右焦点F(，0)的直线y＝0交双曲线于A，B点， 可得AB＝2，故D错误． 二、填空题 6．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m＝________. 答案　－ 解析　由双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，可得1×2＝，解得m＝－. 7．已知双曲线C：－＝1，则经过点(，0)且与双曲线C有且只有一个公共点的直线有________条． 答案　3 解析　双曲线C的方程为－＝1， 其右顶点的坐标为(，0)，渐近线方程为y＝±2x， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝，符合题意； 当直线与双曲线的渐近线平行，即直线方程为y＝±2(x－)时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条． 8．若双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且kMA＝1，则△MAB的面积为______． 答案　3 解析　由双曲线x2－＝1，得A(－1,0)，B(1,0)， 又kMA＝1，∴直线MA的方程为y＝x＋1， 把直线MA的方程代入x2－＝1， 得x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2， 故M(2,3)， ∴S△MAB＝AB·yM＝3. 9．已知坐标原点为O，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A(a，b)，若OA＝FA，则双曲线C的离心率为____________． 答案　2 解析　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为M(a,0)， 又点A(a，b)，OA＝FA， ∴MA垂直平分线段OF， ∴c＝2a，即e＝2. 三、解答题 10．已知双曲线C：－y2＝1. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(－，)的双曲线的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B的中点坐标为(1,1)，求直线l的斜率． 解　(1)设所求双曲线方程为－y2＝k(k≠0)， 代入(－，)，得k＝－1，所以所求双曲线方程为y2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在双曲线上， 所以 由①－②得＝(y1－y2)(y1＋y2)， 因为A，B的中点坐标为(1,1)，所以 所以kl＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $