第10练 椭圆的几何性质（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第10练　椭圆的几何性质 一、选择题 1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， 可知2a＝4，∴a＝2， 又e＝＝， ∴c＝1，则b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 答案　D 解析　∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1， ∴圆心坐标是(3,0)， ∴c＝3. 又b＝4，∴a＝＝5. ∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 3．椭圆＋＝1和椭圆＋＝1(0<k<9)有(　　) A．等长的长轴 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．等长的短轴 答案　B 解析　椭圆＋＝1的长轴长为2a＝10，焦距2c＝8， 离心率e＝，短轴长2b＝6， 椭圆＋＝1(0<k<9)的长轴长2a′＝2， 焦距2c′＝8，离心率e′＝，短轴长2b′＝2， ∴两椭圆有相等的焦距． 4．若椭圆x2＋＝1(a>0)的离心率为，则a的值为(　　) A．2 B. C．2或 D．2或 答案　D 解析　当a>1时，离心率为＝，解得a＝2； 当0<a<1时，离心率为＝，解得a＝. 综上所述，a＝2或a＝. 5．(多选)已知椭圆E：＋＝1，则(　　) A．若椭圆E的离心率为，则m＝8 B．若m>9，则椭圆E的焦点坐标为(0，±) C．若0<m<9，则椭圆E的长轴长为6 D．不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点 答案　BCD 解析　对于A，因为椭圆E的离心率为， 所以a＝3c， 当焦点在x轴上时，a＝3，c＝1，m＝a2－c2＝9－1＝8， 当焦点在y轴上时，a＝，b＝3，c＝， 由a2＝b2＋c2，得m＝，A错误； 对于B，若m>9，焦点在y轴上，所以c2＝m－9，椭圆E的焦点坐标为(0，±)，B正确； 对于C，若0<m<9，则焦点在x轴上，所以a＝3，长轴长为6，C正确； 对于D，令y＝0，所以x＝±3，－3≤x≤3，所以不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点，D正确． 二、填空题 6．椭圆x2＋3y2＝1的短轴长为__________． 答案　 解析　由题意知椭圆x2＋3y2＝1， 即＋＝1， 可得b＝，则短轴长是2b＝. 7．定义曲线＋＝1(a>b>0)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则它的“倒椭圆”C2的方程为________________． 答案　＋＝1 解析　因为焦点在x轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为， 所以解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆C1的方程为＋＝1， 所以由“倒椭圆”的定义可得椭圆C1的“倒椭圆”C2的方程为＋＝1. 8．已知椭圆＋＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆上，若·＝0，则△PF1F2的面积为____________． 答案　3 解析　由已知可得，a＝3，e＝＝， 所以c＝，F1F2＝2. 因为点P在椭圆上，由椭圆的定义可得，PF1＋PF2＝6， 所以(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝36. 又·＝0， 所以△PF1F2为直角三角形， 则PF＋PF＝F1F＝24， 所以PF1·PF2＝6， 所以＝PF1·PF2＝3. 9．若椭圆C的中心为坐标原点、焦点在y轴上，顺次连接C的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C的四个顶点构成四边形的面积为4，则C的方程为________________． 答案　＋＝1 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题可知， 解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. 三、解答题 10．已知椭圆W：＋＝1(m>0，n>0)的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD. (1)若W的一个焦点为，CD＝6，求W的方程； (2)若AB＝10，e＝，求W的方程． 解　(1)由已知可得，c＝3,2b＝6，b＝3， 则a2＝b2＋c2＝18. 由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆W的方程为＋＝1. (2)由已知可得，2a＝10，则a＝5， 又e＝＝，则c＝3，b2＝a2－c2＝16. 若椭圆焦点在x轴上，则椭圆W的方程为＋＝1. 若椭圆焦点在y轴上，则椭圆W的方程为＋＝1. 综上，椭圆W的方程为＋＝1或＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $