第5章 再练一课(范围：§5.1～§5.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

再练一课(范围：§5.1～§5.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则等于(　　) A．－4 B．4 C．－36 D．36 答案　A 解析　根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12， 则 ＝－＝－＝－4. 2．下列导数运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(2x)′＝x2x－1 C．(cos x)′＝sin x D．(xln x)′＝ln x＋1 答案　D 解析　根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln 2，故B错误； (cos x)′＝－sin x，故C错误；(xln x)′＝ln x＋1，故D正确． 3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于(　　) A．1 B. C．3 D．0 答案　C 解析　由已知得点M(1，f(1))在切线上， 所以f(1)＝＋2＝， 切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝， 所以f(1)＋f′(1)＝3. 4．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　) A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a≤0 答案　C 解析　因为f′(x)＝3ax2＋1， 令f′(x)＝3ax2＋1＝0， 所以3a＝－<0，即a<0. 5．若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－8)∪(0，＋∞) C．[0,4] D．(－8,0) 答案　A 解析　由题意知f′(x)＝3x2－6x， ∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，解得x<0或x>2； 当f′(x)<0时，3x2－6x<0，解得0<x<2. ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4， ∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点，∴a<0或a>4. 6．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　) A．－1是f(x)的零点 B．1是f(x)的极值点 C．3是f(x)的极值 D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上 答案　A 解析　由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0，可得x＝－，则f＝3，则＝3； 由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，则解得满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 答案　ABD 解析　根据导函数的图象可知，在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误． 8．将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 答案　ABD 解析　对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意； 对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知， 函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图象中， 函数y＝f(x)没有增区间，不符合题意； 对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知， 函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意； 对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知， 函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中， 函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意． 9．已知函数f(x)＝(ax＋b)ex(a≠0)满足(x＋1)f′(x)＝(x＋2)f(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，且f(x)在x＝0处的切线倾斜角小于45°，则(　　) A．a＝b＋1 B．0<a< C．f(x)有且仅有1个零点 D．f(x)有且仅有1个极值点 答案　BCD 解析　f′(x)＝(ax＋b＋a)ex， 由(x＋1)f′(x)＝(x＋2)f(x)， 得(x＋1)(ax＋b＋a)ex＝(x＋2)(ax＋b)ex， 所以ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(2a＋b)x＋2b，即a＋b＝2b， 所以a＝b，故A错误； 则f′(x)＝(ax＋2a)ex，f(x)＝(ax＋a)ex， 因为f(x)在x＝0处的切线倾斜角小于45°， 所以0<f′(0)＝2a<1，所以0<a<，故B正确； 令f′(x)＝(ax＋2a)ex>0，得x>－2， 令f′(x)＝(ax＋2a)ex<0，得x<－2， 所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)的极小值点为－2，无极大值点，故D正确； f(x)min＝f(－2)＝－<0， 又当x<－2时，f(x)＝a(x＋1)ex<0，f(－1)＝0， 所以函数f(x)仅有唯一零点－1，故C正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为________． 答案　x＋y－2＝0 解析　设切点为(x0，y0)， ∵y′＝2x－，∴2x0－＝－1， 解得x0＝－(舍去)或x0＝1，∴y0＝1， 故切线方程为y－1＝－1×(x－1)， 即x＋y－2＝0. 11．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·x<f(x)，f(3)＝0，则>0的解集为________． 答案　(0,3) 解析　设g(x)＝，因为f′(x)·x<f(x)， 所以g′(x)＝<0， 所以g(x)是减函数， 又f(3)＝0，所以g(3)＝0， 则>0，即g(x)>0＝g(3)， 所以0<x<3. 即>0的解集为(0,3)． 12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据以上发现，则函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为__________． 答案　 解析　由题意得， f′(x)＝x2－x＋3，故f″(x)＝2x－1，令f″(x)＝0，解得x＝.代入f(x)可得f ＝×3－×2＋3×－＝1.故其对称中心为. 四、解答题(共37分) 13．(12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．(6分) 解　函数f(x)的定义域为(0,2)， f′(x)＝－＋a. (1)当a＝1时，f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)． 当f′(x)>0时，0<x<； 当f′(x)<0时，<x<2， 所以f(x)的增区间为(0，)，减区间为(，2)． (2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0， 即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. 14．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1. (1)若f(x)的减区间为(－1,1)，求实数a的值；(6分) (2)若f(x)在区间(－1,1)上单调递减，求实数a的取值范围．(6分) 解　由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)·(3x＋2a－3)． (1)∵f(x)的减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f′(x)＝0的两个根， ∴＝1，∴a＝0. 当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)(3x－3)， 由f′(x)<0得－1<x<1， ∴f(x)的减区间为(－1,1)，符合题意， ∴a＝0. (2)∵f(x)在区间(－1,1)上单调递减， ∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立． 又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，方程f′(x)＝0的一根为－1， ∴≥1，∴a≤0. ∴实数a的取值范围是(－∞，0]． 15．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x＋1. (1)求f(x)的单调区间；(6分) (2)当a<0时，证明：f(x)≤－－1.(7分) (1)解　因为f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x＋1， 所以f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝＝(x>0)， 当a≥0时，f′(x)≥0恒成立， 则f(x)是增函数； 当a<0时，令f′(x)>0，则2ax＋1>0， 解得0<x<－， 令f′(x)<0，则2ax＋1<0， 解得x>－， 综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当a<0时，f(x)的增区间为，减区间为. (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－， 所以f(x)≤－－1等价于ln－≤－－1，即ln＋＋1≤0. 令g(t)＝ln t－t＋1(t>0)， 则g′(t)＝－1＝， 令g′(t)>0，则0<t<1. 令g′(t)<0，则t>1. 故g(t)max＝g(1)＝0， 所以当t>0时，g(t)≤0， 从而当a<0时，ln＋＋1≤0， 即f(x)≤－－1. 学科网（北京）股份有限公司 $