5.2.1　基本初等函数的导数同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 基础过关练 题组一　利用导数公式求函数的导数 1.已知f(x)=-,则f'(x)=　　(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.- 2.(教材习题改编)已知函数f(x)=xα(α为常数),若f'(-1)=-4,则α=(　　) A.4　　　　B.-4　　　　C.5　　　　D.-5 3.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若f(x)=ln 3,则f'(1)= B.若f(x)=,则f'(4)=- C.若f(x)=cos x,则f'= D.若f(x)=log2x,则f'(2)= 4.已知函数f1(x)=sin x, fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 028= (　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 5.已知函数f(x)=xα的图象过点(2,8),则f'(1)=　　　　.  6.已知f(x)=,g(x)=mx,且g'(3)=,则m=　　　　.  题组二　导数公式的应用 7.(多选题)设t为实数,若直线y=x+t是曲线y=f(x)的切线,则f(x)的表达式可能为(　　) A.f(x)=　　　　B.f(x)=x4 C.f(x)=ex　　　　D.f(x)=cos x 8.已知直线l经过点(0,b),且与直线y=2x平行,若l与曲线y=x2相切,则b=(　　) A.-　　　　B.-1 C.1　　　　D. 9.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2　　　　B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x　　　　D.f(x)=2x 10.若曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x+a的距离为,则实数a的值为(　　) A.-3　　　　B.-2 C.1　　　　D.-3或1 11.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·x3·…·x2 024=　　　　.  12.已知函数y1=的图象与函数y2=ax(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线,则a=　　　　.  13.已知直线l分别与曲线f(x)=ln x,g(x)=ex相切于点(x1,ln x1),(x2,),则-的值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 基础过关练 1.B 2.A 3.BD 4.D 7.BC 8.B 9.D 10.A 1.B　由题意可得f'(x)='=(-x-3)'=3x-4=. 2.A　易得f'(x)=αxα-1, ∴f'(-1)=α(-1)α-1=-4,∴α=4. 3.BD　对于A, f'(x)=0,所以f'(1)=0,故A错误; 对于B, f'(x)=-,所以f'(4)=-,故B正确; 对于C, f'(x)=-sin x,所以f'=-,故C错误; 对于D, f'(x)=,所以f'(2)=,故D正确. 4.D　由题意得f2(x)=f'1(x)=cos x, f3(x)=f'2(x)=-sin x, f4(x)=f'3(x)=-cos x, f5(x)=f'4(x)=sin x=f1(x),……,故f2 028(x)=f4(x)=-cos x, 所以f2 028=-cos=. 5.答案　3 解析　将点(2,8)代入f(x)=xα可得8=2α,即α=3,所以f(x)=x3,则f'(x)=3x2,故f'(1)=3. 6.答案　-9 解析　由f(x)=得f'(x)=-,所以f'(3)=-, 由g(x)=mx得g'(x)=m,所以m=g'(3)==-9. 7.BC　若直线y=x+t为函数y=f(x)图象的切线,则f'(x)=有解. 对于A, f'(x)=-<0,所以f'(x)不可能等于,故A错误﹔ 对于B, f'(x)=4x3,令4x3=,解得x=,故B正确; 对于C, f'(x)=ex,令ex=,解得x=ln ,故C正确; 对于D, f'(x)=-sin x∈[-1,1],所以f'(x)不可能等于,故D错误. 8.B　设直线l与曲线y=x2切于点(m,m2),对y=x2求导,得y'=2x, 因为l与曲线y=x2相切,且与直线y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点为(1,1),又l过点(0,b),所以2=,解得b=-1. 方法总结 利用导数解决切线问题时,要知道切点既在直(切)线上,又在曲线上,把切点的横坐标代入所求得的导数中,得切线的斜率. 简记:在直在曲,代横得k. 9.D　对于A, f'(x)=2x,令x2=2x,解得x=0或x=2,所以函数f(x)=x2存在“巧值点”; 对于B, f'(x)=(x>0),作出函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知两图象有交点,所以函数f(x)=ln x存在“巧值点”; 对于C, f'(x)=cos x,令sin x=cos x,得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以函数f(x)=sin x存在“巧值点”; 对于D, f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以函数f(x)=2x不存在“巧值点”. 10.A　设直线l与直线y=x+a平行,且与曲线y=ln x相切于点P(m,n), 易知y=ln x的定义域为(0,+∞),且y'=,所以y'x=m=,故l的斜率为, 所以=1,解得m=1,则n=ln 1=0,故P(1,0), 所以l的方程为y=x-1, 若曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x+a的距离为,则直线l到直线y=x+a的距离为, 则=,解得a=1或a=-3, 当a=1时,直线y=x+a即为y=x+1,与曲线y=ln x没有交点,曲线y=ln x上只有一个点到直线y=x+1的距离为,不符合题意; 当a=-3时,直线y=x+a即为y=x-3,与曲线y=ln x有两个交点,曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x-3的距离为,一个点为点P,剩余的两个点在直线y=x-3的右下方,符合题意,故a=-3. 11.答案　 解析　由y=xn+1(n∈N*)得y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1, 所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,解得x=-+1=, 所以x1·x2·x3·…·x2 024=×××…×=. 12.答案　 解析　由题意得y'1=,y'2=axln a,设两个函数图象的公共点为(x0,y0), 则可得ln a=,且x0=,即ln x0=2x0ln a,即ln a=, 所以=,解得x0=e,则a=. 解题模板 用导数解决公切线问题的一般步骤 已知曲线C1:y=f(x)在点A(x1, f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理得y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1);曲线C2:y=g(x)在点B(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2),则有 曲线C1:y=f(x)与曲线C2:y=g(x)公切线的条数等价于方程组解的个数. 13.答案　1 解析　由题意得f'(x)=,g'(x)=ex, 曲线y=f(x)在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1),曲线y=g(x)在点(x2,)处的切线方程为y-=(x-x2),则得ln x1-1=ln -1=-x2-1=(1-x2), 所以====1-=1+,可得-=1. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$