第5章 §5.3 5.3.3 最大值与最小值（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数最大值与最小值核心知识点，前承导数与函数极值内容，通过对比极值（局部性质）与最值（整体性质），明确闭区间连续函数最值的求法，构建从局部到整体的认知支架。 资料以“群山山峰山谷”情境导入，用数学眼光将抽象概念具象化，通过问题链引导学生推理极值与最值关系，结合包装盒容积等实例培养模型意识，课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固应用，查漏补缺。

5.3.3　最大值与最小值 [学习目标]　1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题． 导语 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． 一、极值与最值的关系 问题1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在． 问题2　开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． 知识梳理 极值与最值的关系 (1)最值在极值点或区间端点处取得． (2)开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)． 反思感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的整个定义区间(即整体)而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值至多有一个． (3)函数f(x)的极值点为定义区间内的点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 跟踪训练1　设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 答案　C 解析　根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确． 二、求函数的最值 知识梳理 求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值． 例2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋cos x，x∈[0,2π]． 解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]， 所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0， 解得x＝－ 或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8， 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)因为f(x)＝x＋cos x，x∈[0,2π]， 所以f′(x)＝－sin x，x∈[0,2π]， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1， f ＝＋，f ＝－. 所以当x＝2π时，f(x)取得最大值π＋1， 当x＝时，f(x)取得最小值－. 反思感悟　求函数最值的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求出定义域内的每一个极值与端点值． (3)比较所求的每一个极值与端点值． (4)得出结论． 跟踪训练2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝. 解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， 所以当x＝4时，f(x)取得最大值35. 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. 即f(x)的最大值为35，最小值为－37. (2)函数f(x)＝的定义域为R. f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，解得x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示 x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ↘ 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)取得最大值， f(x)max＝f(2)＝. 三、用导数解决实际问题 例3　如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解　∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x， ∴EG＝(60－2x)， ∴V(x)＝(x)2×(60－2x)× ＝x2×(60－2x) ＝－2x3＋60x2(0<x<30)． ∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)． 令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝20. ∵当0<x<20时，V′(x)>0； 当20<x<30时，V′(x)<0. ∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴包装盒的底面边长为x＝20(cm)， 高为(30－x)＝10(cm)， ∴当x＝20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为. 延伸探究　本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ 解　∵AE＝x，∴HE＝x. ∵EF＝60－2x， ∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)． ∴S＝4×HE×EG＝4×x×(30－x) ＝8x(30－x)＝－8x2＋240x ＝－8(x－15)2＋8×152 ＝－8(x－15)2＋1 800(0<x<30)． ∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2. 反思感悟　解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域． (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)当隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解　(1)由题设可知，隔热层厚度为x cm， 每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 又建造费用为C1(x)＝6x. 则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0， 即＝6，解得x1＝5，x2＝－(舍去)． 当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元． 1．知识清单： (1)函数最值的概念． (2)求函数最值． (3)用导数解决实际问题中的最值． 2．方法归纳：转化思想、分类讨论思想． 3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系． 1．下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 答案　D 解析　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 答案　C 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(－1,1)上是减函数， 无最大值和最小值，也无极值． 3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 答案　B 解析　设圆锥的高为h cm,0<h<20， ∴V＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h ∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝0，解得h＝， 当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，故当h＝时，体积最大． 4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________． 答案　－ 解析　f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝(x＋2)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－2， 当x>－2时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　　) A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定 答案　A 解析　因为M＝m，所以f(x)为常函数， 故f′(x)＝0. 2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　) A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1 答案　C 解析　y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0， 则函数在区间上单调递增， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是(　　) A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 答案　C 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x＝±1. 又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1， f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]． 所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17. 4.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　) A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值 C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值，也有最小值 答案　C 解析　由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1， 即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值． 5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 答案　D 解析　设毛利润为L(P)． 则L(P)＝PQ－20Q ＝(8 300－170P－P2)(P－20) ＝－P3－150P2＋11 700P－166 000， 所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700. 令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)． 此时，L(30)＝23 000. 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值 答案　ABD 解析　由f(x)>0，解得0<x<2，故A正确； f′(x)＝(2－x2)ex， 令f′(x)＝0，解得x＝±， 当x<－或x>时，f′(x)<0， 当－<x<时，f′(x)>0， 所以当x＝－时，f(x)取得极小值， 当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确； 当x→－∞时，f(x)<0， 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 且f()>0， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确． 7．(5分)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为______． 答案　 解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)． 因为x∈，所以f′(x)>0. 所以f(x)在上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f ＝. 8．(5分)已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________． 答案　[－4，－2] 解析　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝. 由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]． 9．(10分)求下列函数的最值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；(5分) (2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．(5分) 解　(1)f′(x)＝cos x－sin x. 令f′(x)＝0，即tan x＝1，且x∈， 所以x＝. 又因为f ＝， f ＝－1，f ＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为 f ＝，最小值为f ＝－1. (2)f′(x)＝－x， 令－x＝0，化简为x2＋x－2＝0， 解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值． 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)． 所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值， f(1)＝ln 2－为函数在[0,2]上的最大值． 10．(12分)如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元． (1)将总运费y表示为x的函数；(4分) (2)如何选点M才能使总运费最少？(8分) 解　(1)依题意，铁路AM上的运费为2(80－x)元， 公路MC上的运费为4元， 则由A地到C地的总运费 y＝2(80－x)＋4(0≤x≤80)． (2)由(1)可知，y′＝－2＋(0≤x≤80)， 令y′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)． 当0≤x≤时，y′≤0； 当≤x≤80时，y′≥0. 故当x＝时，y取得最小值，即当在距离点B为公里的点M处修筑公路至C时总运费最少． 11．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 答案　A 解析　令F(x)＝f(x)－g(x)， ∵f′(x)<g′(x)， ∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)． 12．已知函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么实数a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C. D. 答案　A 解析　设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－2x2＋3x＋a，x∈[1，＋∞)， 则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)， 所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减； 当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增； 当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值． 因为f(x)的图象始终在g(x)图象的上方， 所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0， 所以a的取值范围是(0，＋∞)． 13．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　) A．20 B．18 C．3 D．0 答案　A 解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20. 14．(5分)如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大． 答案　 解析　设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示， 则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)，令V′＝0，解得x＝(舍去)或x＝，当x∈时，V′>0，当x∈时，V′<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为. 15．函数f(x)＝x－ln x与g(x)＝xex－ln x－x的最小值分别为a，b，则(　　) A．a＝b B．a>b C．a<b D．a，b的大小不能确定 答案　A 解析　f(x)的定义域是， f′(x)＝1－＝， 令f′(x)<0，解得0<x<1， 令f′(x)>0，解得x>1， 则f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值是f＝1，故a＝1. g(x)＝xex－ln x－x，定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝ex－－1＝， 令h(x)＝xex－1，则h′(x)＝ex>0，x∈(0，＋∞)． 则可得h(x)是增函数，且h＝－1<0，h＝e－1>0， 故存在x0∈(0,1)使得h(x)＝0，即＝1， 两边取对数得x0＋ln x0＝0， 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，故当x＝x0时，函数取得最小值g(x0)＝－ln x0－x0＝1－ln x0－x0＝1，即b＝1， 所以a＝b. 16．(12分)已知函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝x3＋x2－x. (1)若m＝3，求f(x)的极值；(4分) (2)若对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围．(8分) 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当m＝3时，f(x)＝＋ln x， ∴f′(x)＝－＋＝. 令f′(x)＝0，解得x＝3. 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(0,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)的极小值为f(3)＝1＋ln 3，无极大值． (2)g(x)＝x3＋x2－x， ∴g′(x)＝3x2＋2x－1， 当x∈时，g′(x)>0， ∴g(x)在上单调递增，g(x)max＝g(2)＝10. 对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)恒成立，即对任意x∈，f(x)＝＋ln x≥1恒成立，即m≥x－xln x恒成立． 令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x， ∴当x>1时，h′(x)<0，当0<x<1时，h′(x)>0， ∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴当x∈时，h(x)的最大值为h(1)＝1， ∴m≥1， 即m的取值范围是[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $