5.3.3 第2课时 最值在实际生活中的应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦导数在实际生活中的最值应用，通过基础到综合的层级设计，系统构建“建模-求导-判单调-求最值”的解题体系，强化数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题|建立目标函数、导数求极值、单调性判断|实际问题抽象为函数模型，应用导数工具求解最值| |综合运用|4题|复杂情境建模、分类讨论求最值|从单一变量到多变量问题，深化导数在实际优化中的应用|

第2课时　最值在实际生活中的应用 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（　　） A．13万件　 　 B．11万件 C．9万件　 　 D．7万件 2.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（　　） A．4　 　B．6 C．4.5　 　D．8 3.某超市中秋节前30天，月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30，t∈Z）的关系大致满足f（t）=t2＋10t＋12，则该超市前t天平均售出（如前10天平均售出为）的月饼最少为（　　） A．14个　 　B．15个 C．16个　 　D．17个 4.（2026•无锡月考）某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0）．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则x的取值为（　　） A．0.016 2　 　 B．0.032 4 C．0.024 3　 　 D．0.048 6 5.某厂生产某种商品x件的总成本c（x）=1 200＋x3（单位：万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为　　　　件时，总利润最大． 6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站　　　　千米处． 7.（2026•徐州月考）如图，内接于抛物线y=1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是　　　　． 8.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE=FB=x（cm）．某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 9.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q=8 300－170p－p2.则最大毛利润为（毛利润=销售收入－进货支出）（　　） A.30 元　 　B.60 元 C.28 000 元　 　D.23 000 元 10.（2026•镇江质检）一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥（如图所示）．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为　　　m时，帐篷的体积取得最大值为　　　　m3. 11.如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，该地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是抛物线y=x2的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km2）． （1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求按上述要求隔离出的△BEF面积S的最大值． 12.（2026•南京质检）工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p=（c为常数，且0＜c＜6）．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． （1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=×100%） 答案 第2课时　最值在实际生活中的应用 1.C　2.A　3.D 4.B　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈（0，0.048 6）.所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0＜x＜0.048 6），则y'＝0.097 2kx－3kx2.令y'＝0，得x＝0.032 4或x＝0（舍去）.当0＜x＜0.032 4时，y'＞0；当0.032 4＜x＜0.048 6时，y'＜0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益. 5.25　解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数.因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000.所以p2＝，p＝，x＞0.设总利润为y万元，y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 200.则y'＝－x2.令y'＝0，得x＝25，当0＜x＜25时，y'＞0，当x＞25时，y'＜0，故当x＝25时，函数y取得极大值也是最大值. 6.5　解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离.于是，由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋.y'＝－＋.令y'＝－＋＝0，得x＝5（x＝－5舍去），且当x＞5时，y'＞0；当0＜x＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小. 7.　解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f（x）＝x·＝－＋x，x∈（0，2）.由f'（x）＝－x2＋1＝0，得x＝－（舍）或x＝，∴x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝时，f（x）取极大值且为最大值. 8.解：∵V（x）＝（x）2×（60－2x）× ＝x2×（60－2x） ＝－2x3＋60x2（0＜x＜30）. ∴V'（x）＝－6x2＋120x＝－6x·（x－20）. 令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. ∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0； 当20＜x＜30时，V'（x）＜0. ∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值. 此时底面边长为x＝20（cm），高为（30－x）＝10（cm）， 即高与底面边长的比值为. 9.D　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L'（p）＞0，右侧L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元. 10.2　16　解析：设OO1为x（1＜x＜4）m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝（m），于是底面正六边形的面积为S＝6×（）2＝（8＋2x－x2）.帐篷的体积为V＝×（8＋2x－x2）（x－1）＋（8＋2x－x2）＝（8＋2x－x2）·＝（16＋12x－x3），V'＝（12－3x2）.令V'＝0，解得x＝2或x＝－2（不合题意，舍去）.当1＜x＜2时，V'＞0；当2＜x＜4时，V'＜0.所以当x＝2时，V取得极大值且为最大值，此时V＝×（16＋12×2－23）＝16（m3）. 11.解：（1）依题意，得点P（t，t2）. 因为y＝x2，所以y'＝2x，则kEF＝2t， 所以在点P处的切线EF的方程为y－t2＝2t（x－t），即y＝2tx－t2. 令y＝0，得点E； 令x＝2，得点F（2，4t－t2），所以S＝（4t－t2）＝（t3－8t2＋16t），定义域为（0，2]. （2）S'＝（3t2－16t＋16）＝（3t－4）（t－4）， 当0＜t＜时，S'＞0；当＜t≤2时，S'＜0， 所以S在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当t＝时，Smax＝. 12.解：（1）当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0； 当0＜x≤c时，p＝， ∴y＝·x·3－·x·＝. ∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为y＝ （c为常数，且0＜c＜6）. （2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0. 当0＜x≤c时，∵y＝， ∴y'＝· ＝， 令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去）， ∴①当0＜c＜3时，y'＞0， ∴y在区间（0，c]上单调递增， ∴当x＝c时，y最大值＝. ②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0，∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减. ∴当x＝3时，y最大值＝. 综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $