第5章 §5.2 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数和差积商的导数法则这一核心知识点，前承基本初等函数导数，后接导数几何应用等内容。通过问题引导、知识梳理、例题解析与跟踪训练构建学习支架，逐步深化对法则推导、推广及应用的理解。 资料以问题驱动培养数学眼光，如从函数组合提出求导问题，通过法则证明与多解法例题发展数学思维，例如例2中乘积函数的两种求导方法体现转化思想。知识梳理规范数学语言，分层练习题兼顾课中教学与课后查漏，助力学生核心素养提升。

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 [学习目标]　1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 导语 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，它是我们整个导数的基础，我们还知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导？这是我们本节课要解决的内容． 一、f(x)±g(x)的导数 问题　令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 提示　Δy＝－， ＝ ＝＋， y′＝ ＝ ＝f′(x)＋g′(x)． 所以(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)． 知识梳理 两个函数的和或差的求导法则：(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)． 注意点：推广：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. 解　(1)y′＝′－′＋′ ＝5x4－3x2－sin x. (2)y′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex. 反思感悟　两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对每一项再分别利用基本初等函数的求导公式即可． 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)f(x)＝x5＋x3； (2)g(x)＝ln x＋x. 解　(1)f′(x)＝x4＋4x2. (2)g′(x)＝＋1. 二、f(x)g(x)和的导数 知识梳理 1．(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)． 2.′＝(g(x)≠0)． 注意点：注意两个函数的积和商的导数的结构形式． 例2　求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝(2x2－1)(3x＋1)． 解　(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′ ＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′ ＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝ ＝. (3)y′＝′＝＝. (4)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′ ＝18x2＋4x－3. 反思感悟　(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)． 解　(1) (2)方法一　y′＝ ＝＝. 方法二　∵y＝＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝ ＝. (3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)·(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5) ＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. 三、导数四则运算法则的应用 例3　(1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行． ∵y′＝ln x＋1，∴k＝ln x0＋1＝1， 解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是. (2)设f(x)＝a·ex＋bx3，且f′(1)＝e＋1，f′(0)＝1，求a，b的值． 解　f′(x)＝(a·ex)′＋(bx3)′＝a·ex＋3bx2， 由f′(1)＝e＋1，f′(0)＝1， 得解得 所以a，b的值分别为1，. 反思感悟　(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式． (2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题． 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a＝________，b＝________. 答案　1　1 解析　f′(x)＝－. 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)， 故即解得 (2)曲线y＝x2－1过点(0，－2)的切线方程为____________________． 答案　2x－y－2＝0或2x＋y＋2＝0 解析　设切点为(x0，x－1)，∵y′＝2x，∴切线的斜率k＝2x0，∴切线的方程为y－(x－1)＝2x0(x－x0)，∵点(0，－2)在切线上，∴－2－(x－1)＝2x0(0－x0)，解得x0＝1或x0＝－1，则当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0，当x0＝－1时，切线方程为2x＋y＋2＝0. 1．知识清单： (1)导数的运算法则． (2)导数四则运算法则的应用． 2．方法归纳：公式法、转化法． 3．常见误区：过点的切线问题，未先判断该点是否为切点． 1．函数y＝x(x2＋1)的导数是(　　) A．x2＋1 B．3x2 C．3x2＋1 D．3x2＋x 答案　C 解析　∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x， ∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1. 2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝. 3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1. 4．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________． 答案　y＝x 解析　∵f(x)＝ex·sin x，∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′ 答案　AD 解析　A项，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误； C项，′＝，故错误； D项，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确． 2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为f′(x)＝x2－2x，所以k＝f′(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为. 3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 答案　B 解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1， 解得x0＝e. 4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 答案　B 解析　∵f′(x)＝4ax3＋2bx，易知f′(x)为奇函数， ∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 5．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 答案　C 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得x>2， 所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)． 6．设曲线y＝x＋ln x的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设切点为(x0，y0)，∵y＝x＋ln x， ∴y0＝x0＋ln x0，y′＝1＋，可得切线方程为y－x0－ln x0＝(x－x0)， ∵切线过点(0,1)，∴1－x0－ln x0＝－x0－1， ∴ln x0＝2，x0＝e2， ∴切线方程为y＝x＋1，故其在y轴上的截距为1，在x轴上的截距为－，故此切线与坐标轴围成的三角形面积S＝. 7．(5分)已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝________. 答案　3 解析　因为f′(x)＝3x2－m， 所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3. 8．(5分)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________． 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′×＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f ＝1. 9．(12分)求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋；(3分) (2)y＝；(3分) (3)y＝(x2＋9)；(3分) (4)y＝.(3分) 解　(1)y′＝′＝′＋′＝－. (2)y′＝′＝＝－. (3)y＝x3＋6x－，y′＝3x2＋＋6. (4)y′＝＝＝. 10．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值；(4分) (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．(6分) 解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 答案　C 解析　∵f′(x)＝＝， f′(1)＝tan ＝－1，∴a＝7. 12．过点(2,0)作曲线y＝x2ex的切线，可以作(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　因为y′＝(x2＋2x)ex，设切点为(x0，x)，所以曲线y＝x2ex在点(x0，x)处的切线方程为y－x＝(x＋2x0)·(x－x0)．将点(2,0)代入，得x0·(x－x0－4)＝0，即x0＝0或x－x0－4＝0，所以x0＝0或x－x0－4＝0，因为方程x2－x－4＝0有两个不相等的实数根，且不为0，所以方程x0·(x－x0－4)＝0共有3个不相等的实数根，即过点(2,0)作曲线y＝x2ex的切线，可以作3条． 13．如图所示的三个图象中有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　　) A. B．－ C. D．－或 答案　B 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图(3)得对称轴为－＝－a>0，则a<0，解得a＝－1. 故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－. 14．(5分)已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 答案　或－4 解析　f′(x)＝ 若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4. 15．(5分)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________. 答案　4 096 解析　因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f′(0)＝84＝212＝4 096. 16．(12分)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．(7分) 解　(1)由题意得f′(x)＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f(x)＝. (2)由(1)可得，f′(x)＝， 所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，则t∈(0,1]， 所以k＝4(2t2－t)＝82－， 在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $