第4章 4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式的推导与应用，从高斯求和实例切入，通过倒序相加法推导公式，梳理含首末项与项数、首项公差与项数的两种形式，构建五个量“知三求二”的应用框架，衔接从Sn判断等差数列的方法，形成完整学习支架。 以高斯故事激发探究欲，培养用数学眼光观察规律，通过问题链引导推导公式发展数学思维，例题与跟踪训练强化公式应用及逻辑推理，助力课中高效教学，课后习题可帮助学生回顾反思，弥补知识薄弱点。

4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 [学习目标]　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 导语 高斯是伟大的数学家，在他小时候，有一次老师出了一道题目：“1＋2＋…＋100的和是多少？”过了两分钟，正当大家在对1＋2＝3,3＋3＝6,6＋4＝10，…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“5 050.”老师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1＋100＝101,2＋99＝101，…，50＋51＝101，所以101×50＝5 050.”这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察，敢于思考，从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西． 一、等差数列前n项和公式及应用 问题1　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了结果，那么如何求1＋2＋3＋…＋n呢？ 提示　将1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n倒序为n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，然后将两式相加得到n 个相同的数(即(1＋n))，从而把不同数的求和转化为n个相同的数的求和，即(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)＝n(n＋1)，∴1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝. 问题2　一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法． ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 知识梳理 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 例1　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解　(1) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝＝＝340. (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 二、利用前n项和表达式判断等差数列 问题3　等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 提示　Sn＝n2＋n.当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0. 例2　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 解　当n＝1时，S1＝a1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－(4n－5)＝4， 所以数列是等差数列． 延伸探究　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列．若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 解　∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝22－3－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[22－3－1]＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－2不符合上式， 故an＝ 故数列不是等差数列，从第二项起数列{an}是等差数列，公差为4. 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝ ∵a2－a1＝4－1＝3≠2， ∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 1．知识清单： (1)等差数列前n项和公式及应用． (2)利用前n项和表达式判断等差数列． 2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法． 3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋ B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 答案　A 解析　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， ∴Sn＝＝－n2＋. 2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　) A．18 B．27 C．36 D．45 答案　C 解析　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案　C 解析　因为S3＝＝6，且a3＝4， 所以a1＝0，所以d＝＝2. 4．数列的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________. 答案　－2n＋2 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[－2＋]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式．故an＝－2n＋2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A．49 B．42 C．35 D．28 答案　B 解析　2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42. 2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 答案　B 解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0， 所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝9，am＋am－1＝79(m≥3)，Sm＝2 024，则m的值为(　　) A．100 B．101 C．200 D．92 答案　D 解析　a1＋am＋a2＋am－1＝88，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1， 故a1＋am＝44. Sm＝＝22m＝2 024， 故m＝92. 4．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　由S13＝＝0， 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8. 5．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 答案　B 解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180. 6．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 答案　AB 解析　方法一　由题意知an＝a1＋(n－1)×2＝11，① Sn＝na1＋×2＝35，② 由①②解得a1＝3或a1＝－1. 方法二　将该数列看成以an＝11为首项，以－2为公差的等差数列，则 Sn＝nan＋×(－2)＝11n－(n2－n)＝35， 解得n＝5或n＝7， 所以a1＝ an＋(n－1)(－2)＝13－2n＝3或－1. 7．(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________. 答案　5 解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 8．(5分)在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________. 答案　 解析　设数列{an}的公差为d， 由题意得10a1＋×10×9d＝4， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以＝. 9．(10分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式；(5分) (2)若Sn＝242，求n.(5分) 解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d. 则 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. (2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得242＝12n＋×2， 即n2＋11n－242＝0， 解得n＝11或n＝－22(舍去)． 故n＝11. 10．(10分)设等差数列的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25. (1)求的通项公式；(5分) (2)求等差数列的前n项和Sn.(5分) 解　(1)设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25， 得5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25， ∴a1＝－1，d＝3. ∴的通项公式为an＝3n－4. (2)由(1)知an＝3n－4， 得的前n项和为 Sn＝＝＝， 则Sn＝n2－n. 11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 答案　B 解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100， ∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. 12．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156， ∴4(a1＋an)＝280， ∴a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210， ∴n＝6. 13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由图案的点数可知 a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12， 所以an＝3n－3，n≥2， 所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝ ＝. 14．(5分)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________． 答案　35 解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18， 则由解得 15．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a2＋a6＝2，a5<0，则(　　) A．a4＝1 B．S7＝7 C．a1<0 D．d<0 答案　ABD 解析　由a2＋a6＝2a4＝2，得a4＝1，S7＝＝＝7，故A，B正确； 因为a4＝1>0，a5<0，所以公差d＝a5－a4<0，a1＝a4－3d>0.故C错误，D正确． 16．(13分)已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．(7分) 解　(1)∵S4＝28， ∴＝28，a1＋a4＝14， ∴a2＋a3＝14， 又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2＝5，a3＝9， ∴解得 ∴an＝4n－3，n∈N*. (2)由(1)，知Sn＝2n2－n， ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝. 又{bn}也是等差数列， ∴b1＋b3＝2b2， 即＋＝2×， 解得c＝－(c＝0舍去)． 学科网（北京）股份有限公司 $