4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式 一、等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序； ②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 等差数列通项公式的推导过程： 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以， ， ， …… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 2、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 四、等差数列的性质 1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. 2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 3、若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． 4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． 5、通项公式的推广： (n，m∈N*)． 五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。 六、等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 题型一 等差数列的概念 【例1】（2022·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（ ）． A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 【变式1-1】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ） A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为 【变式1-2】（2022·陕西咸阳·高二统考期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【变式1-3】（2023·上海·高二统考期末）已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是 A． B． C． D． 题型二 等差数列的通项与基本量 【例2】（2022·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知数列，则是这个数列的（ ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【变式2-1】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则公差（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式2-2】（2023·北京·高三北理工附中校考阶段练习）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·江苏南通·高二统考期中）已知为等差数列，数列满足：，，且，则（ ） A． B． C． D． 题型三 等差中项及其应用 【例3】（2023·山东日照·高二统考期中）已知，，则a，b的等差中项为（ ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（2023·重庆·高三统考期中）记等差数列的公差为，若是与的等差