第4章 §4.1 第2课时 数列的递推公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦数列的递推公式核心知识点，前承数列概念与通项公式，通过剧场座位数等实例导入，建立相邻项关系的递推公式理解，再借助归纳法、累加法、累乘法等方法实现由递推公式求通项，最后关联函数知识分析数列单调性与最值，构建完整知识支架。 资料以现实情境问题链驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过周期数列推理、累加累乘运算等例题训练数学思维，结合函数视角表达数列性质，课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升数学素养。

第2课时　数列的递推公式 [学习目标]　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.2.进一步理解数列与函数的关系． 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时的问题1. 一、数列的递推公式 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． 问题1　写出前五排座位数． 提示　20,22,24,26,28. 问题2　第n排与第n＋1排座位数有何关系？ 提示　第n＋1排比第n排多2个座位． 问题3　第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 提示　能．an＋1＝an＋2. 知识梳理 一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式． 注意点：通项公式反映的是an与n之间的关系；递推公式反映的是数列中任意两个或多个相邻项之间的推导关系，根据数列中的首项(或前几项)和递推公式，即可依次求出数列中的每一项． 例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023. 解　因为a1＝2，an＋1＝，n∈N*， 所以a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， … 所以{an}是周期为4的数列， 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 跟踪训练1　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　因为a1＝1，an＋1＝an＋，则a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 二、由递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－ ＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列满足an＋1＝an，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. 解　因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1 ＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 解　因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1， 即＝e(n≥2)． 所以an＝··…··a1 ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 三、数列的单调性与最值 问题4　在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 提示　函数． 知识梳理 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数． 注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示． 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解　方法一　an＋1－an＝(n＋2)n＋1 －(n＋1)n＝， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10 且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. 方法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9或n＝10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. 反思感悟　(1)研究数列单调性的方法 ①定义法：通过判断an＋1－an与0的大小关系来得出an＋1与an的大小关系，从而得到an的单调性． ②转化为函数的单调性：令an＝f(n)，通过研究函数f(x)的单调性来确定f(n)即an的单调性． (2)求数列最值的方法 ①数列的单调性法：通过研究通项公式an的单调性来研究最大(小)项． ②不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 跟踪训练3　已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　A 解析　因为an＝－4＝2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值． 1．知识清单： (1)数列的递推公式． (2)由递推公式求数列的通项公式． (3)数列的单调性与最值． 2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法． 3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式． 1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 2．在数列中，an＝，则(　　) A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 答案　D 解析　在数列中，an＝＝1＋， 由反比例函数的性质得是递减数列． 3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 024的值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　A 解析　an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 024＝a337×6＋2＝a2＝2. 4．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，则该数列从第______项开始递增，该数列的最小值为________． 答案　4　－36 解析　因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增． an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A．15 B．255 C．16 D．63 答案　B 解析　由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63， a5＝255. 2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　) A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an C．an＋1＝an D．an＋1＝－an 答案　D 3．在数列中，a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2 024等于(　　) A. B．－1 C．2 D．3 答案　B 解析　当n＝1时，a2＝1－＝－1， 当n＝2时，a3＝1－＝2， 当n＝3时，a4＝1－＝＝a1，…，所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 024＝a674×3＋2＝a2＝－1. 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 答案　D 解析　∵an＋1－an＝－1. ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式． 故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)． 5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋，n∈N*，n≥2 答案　B 解析　结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. 6．已知数列{an}的通项公式是an＝，则{an}(　　) A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 答案　C 解析　因为an＋1－an ＝－＝>0， 所以{an}是递增数列． 7．(5分)已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______. 答案　 解析　a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝＝. 8．(5分)若数列{an}的通项公式为an＝n－7(n∈N*)，则该数列中的最小项的值为__________． 答案　12－14 解析　令＝t(t>0)， 则y＝t2－7t＝2－，对称轴为直线t＝， 由复合函数的单调性可知，an在上单调递减，在上单调递增， 又n∈N*，当n＝12时，a12＝12－14； 当n＝13时，a13＝13－7， 因为12－14<13－7，所以最小项的值为12－14. 9．(10分)在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，且数列{an}的通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)求a2 024.(5分) 解　(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有解得 ∴an＝4n－2，n∈N*. (2)a2 024＝4×2 024－2＝8 094. 10．(12分)在数列中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4；(6分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) 解　(1)∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝， a4＝＝. (2)由an＋1＝得＝＝＋， 即－＝， ∴当n≥2时，－＝， －＝， … －＝， ∴－＝(n－1)， ∴＝(n－1)＋＝. ∴an＝， 当n＝1时，a1＝1满足上式， ∴an＝(n∈N*)． 11．数列{an}的通项公式为an＝kn2＋n＋1，则“k>－”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 答案　B 解析　由题意得数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N*，an＋1－an＝[k(n＋1)2＋n＋2]－(kn2＋n＋1)＝2kn＋k＋1>0恒成立， 即k>－对任意n∈N*恒成立， 因为－<0，且当n→＋∞时，－→0，所以k≥0， 所以“k>－”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件． 12．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg，则a10等于(　　) A．4 B．3＋10lg 3 C．13 D．12＋2lg 3 答案　A 解析　依题意，在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg， 即an＋1－an＝lg ＝lg(n＋1)－lg n， 所以a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9) ＝3＋lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋…＋lg 10－lg 9 ＝3－lg 1＋lg 10＝3＋1＝4. 13．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于(　　) A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024 答案　C 解析　由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 14．(5分)若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 023的值为________． 答案　2 解析　由题意知a1＋a3＝a2，则a3＝a2－a1＝1，a2＋a4＝a3，则a4＝a3－a2＝－2，a3＋a5＝a4，则a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝3，…， ∴数列{an}为周期数列，且周期T＝6，又2 023＝6×337＋1， ∴a2 023＝a1＝2. 15．(5分)在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 答案　28 解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 16．(13分)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ 若a4＝4，求m所有可能的取值． 解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 学科网（北京）股份有限公司 $