4.1 数列-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）

4.1 数列 （满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 2．数列满足，则下列说法错误的是（ ） A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 3．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ） A．1147 B．1148 C． D． 4．已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 5．已知数列满足，，则使得最小的整数是（ ） A．65 B．64 C．63 D．62 二、多选题 6．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列的首项且满足，其中，则下列说法中正确的是（ ） A．当时，有恒成立 B．当时，有恒成立 C．当时，有恒成立 D．当时，有恒成立 8．对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”下列叙述正确的有（ ） A．若数列单调递增，则数列单调递增 B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列 C．若，则数列没有最小值 D．若，则数列有最大值 三、填空题 9．已知函数，各项均为正数的数列满足，，若，则的值为______． 10．设表示不超过的最大整数，数列满足，且，若，则___________________. 11．已知数列满足，则________ 四、解答题 12．对于数列，定义 设的前项和为. （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足： ①对任意且，有； ②. 求所有满足条件的数列的个数. 13．首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． （Ⅰ）请写出的所有可能值： （Ⅱ）求证：对任意正整数中至少有一个小于0； （Ⅲ）对于给定的正整数k，求的最大值． 14．数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示. （1）求的值； （2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示； （3）求的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $4.1 数列 （满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据得出，然后通过累加法求出，根据均值不等式及，即可求出结果． 【详解】 由得 所以 则 所以 当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1 故选：B 【点睛】 思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及，求得最值． 2．数列满足，则下列说法错误的是（ ） A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 【答案】C 【分析】 依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定. 【详解】 由，得， 令，， 则当时，数列满足题设，所以A正确； 由，得， 令，则当时，数列满足题设，所以B正确； 由， 令，得，，，， 令，得，，， 则，，从而，与矛盾，所以C错误； 由，得， 令，则当时，数列满足题设，所以D正确. 故选：C 【点睛】 思路点睛：肯定命题，构造符合题设数列，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾. 3．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ） A．1147 B．1148 C． D． 【答案】B 【分析】 当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的