第3章 3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦双曲线几何性质综合应用，系统梳理共渐近线双曲线方程设法（设为λ形式简化运算）、离心率范围求法（齐次不等式转化）及几何性质与向量等结合的综合问题，搭建从基础性质到复杂应用的学习支架。 通过例题对比（如共渐近线问题两种解法）培养抽象能力（数学眼光），离心率推导中逻辑推理（数学思维），综合题结合向量体现数学语言表达。课中助力教师分层引导，课后练习帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

第2课时　双曲线几何性质的综合问题 [学习目标]　1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.2.理解双曲线离心率范围的求法.3.掌握双曲线几何性质的综合应用． 导语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关双曲线的综合问题． 一、共渐近线问题 例1　求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)的双曲线方程． 解　方法一　当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1. 由题意，得 解得a2＝，b2＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1. 由题意，得 解得a2＝－4，b2＝－(舍去)， 综上所得，双曲线的方程为－＝1. 方法二　设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 将点(－3,2)代入得λ＝， 所以双曲线方程为－＝，即－＝1. 反思感悟　利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． 跟踪训练1　双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的方程． 解　设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝. 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 二、双曲线离心率的取值范围 例2　已知点F是双曲线－＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋) 答案　B 解析　若△ABE是锐角三角形，则∠AEF<45°， 在Rt△AEF中，AF＝，EF＝a＋c， 所以<a＋c， 即2a2－c2＋ac>0，所以e2－e－2<0， 解得－1<e<2，又e>1，所以1<e<2. 反思感悟　求双曲线离心率范围的方法 (1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解． (2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围． 跟踪训练2　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围． 解　因为＝， 则PF1＝PF2，又>1， 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知PF1－PF2＝2a， 即PF2－PF2＝2a， 得PF2＝. 由双曲线的几何性质，知PF2≥c－a， 则≥c－a， 即c2－2ac－a2≤0， 所以e2－2e－1≤0， 解得－＋1≤e≤＋1. 又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1]． 三、双曲线几何性质的综合应用 例3　已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求·的值； (3)求△F1MF2的面积． 解　(1)因为e＝， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x2－y2＝8. (2)由(1)知F1(－4,0)，F2(4,0)， ＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)， 所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10， 所以·＝12. (3)因为F1F2＝8，又由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 所以＝·F1F2·|m|＝4. 反思感悟　(1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算．(2)双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合． 跟踪训练3　已知椭圆＋y2＝1和双曲线x2－＝1(b>0)的公共焦点为F1，F2，在第一象限内的交点为P，则·等于(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．－9 答案　B 解析　由椭圆和双曲线的定义， 有 解得或 由椭圆方程＋y2＝1， 得F1F2＝2c＝2×＝4， ·＝||·||·cos∠F1PF2 ＝||·||·＝－6. 1．知识清单： (1)共渐近线求双曲线的方程． (2)求双曲线离心率的取值范围． (3)双曲线几何性质的综合应用． 2．方法归纳：化归思想、数形结合法． 3．常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全． 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由题意得c＝，＝， 则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1. 2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)， 将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以PF＝3. 又A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，] B．(1,2] C．[，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　D 解析　设O为坐标原点，由2|＋|≤||，得4||≤2c(2c为双曲线的焦距)， ∴||≤c，又由双曲线的性质可得||≥a， 于是a≤c，∴e≥2. 4．已知椭圆＋＝1的右焦点F到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是__________． 答案　(1,2) 解析　椭圆＋＝1的右焦点F为(2,0)， 不妨取双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0， 则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝<， 即有2b<c，∴4b2<3c2， ∴4(c2－a2)<3c2，∴e<2， ∵e>1，∴1<e<2. [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A．2 B．2 C. D．1 答案　A 解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x， ∴点F到直线x－y＝0的距离为＝2. 2．已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　双曲线的渐近线为y＝±x，焦点在x轴上，设双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)， 即－＝1，a2＝λ，b2＝3λ. ∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)， ∴c＝4， c2＝a2＋b2＝4λ＝16⇒λ＝4， ∴双曲线方程为－＝1. 3．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) 答案　C 解析　由题意得双曲线的离心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a>1，∴0<<1， ∴1<1＋<2，∴1<e<. 4．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1(a>0)有公共的左焦点F，两曲线在第一、三象限内的公共点分别为P，Q，则cos∠PFQ的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　易知两曲线有公共的右焦点，设为F2，如图所示， 根据题意F(－2,0)，F2(2,0)，a＝1， 根据椭圆的定义得PF＋PF2＝8， 根据双曲线的定义得PF－PF2＝2， 故PF＝5，PF2＝3，又FF2＝4， 所以PF＋FF＝PF2， 从而PF2⊥FF2， 所以cos∠PFQ＝－cos∠FPF2＝－＝－. 5．设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(1，) C．(，＋∞) D．(，＋∞) 答案　C 解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点， 且与双曲线左、右两支各有一个交点， 则>3，即b2>9a2，c2>10a2，可得e>. 6．(多选)已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线－y2＝1上有一点P(m，n)(m，n>0)，且cos∠F1PF2＝，则(　　) A．sin∠F1PF2＝ B．PF1·PF2＝16 C．△PF1F2的面积为31 D．△PF1F2的周长为12＋2 答案　AD 解析　由题知a＝2，b＝1，则c＝＝， 则F1F2＝2， 因为P在第一象限，所以PF1－PF2＝4. 在△PF1F2中， 因为cos∠F1PF2＝， 所以sin∠F1PF2＝＝＝，A正确； 由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2·PF1·PF2·cos∠F1PF2， 则(PF1－PF2)2＝16＝20－PF1·PF2， 可得PF1·PF2＝32，B错误； ＝PF1·PF2·sin∠F1PF2 ＝×32×＝，C错误； 因为(PF1＋PF2)2＝(PF1－PF2)2＋4PF1·PF2＝144， 所以PF1＋PF2＝12， 故△PF1F2的周长为12＋2，D正确． 7．(5分)如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________． 答案　(2，＋∞) 解析　如图， 因为OA＝AF，F(c,0)， 所以xA＝， 因为A在右支上且不在顶点处， 所以>a，所以e＝>2. 8．(5分)已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案　y＝±2x 解析　由已知令8kx2－ky2＝0， 得渐近线方程为y＝±2x. 9．(10分)已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－3,4)． (1)求双曲线的方程；(4分) (2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求AB的长度．(6分) 解　(1)由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)， 把(－3,4)代入方程，整理得9－＝λ， 解得λ＝1，即双曲线的方程为x2－＝1. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由整理得3x2－12x＋10＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝， 由弦长公式可知， AB＝＝＝. 所以AB的长度为. 10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求双曲线的离心率e的最大值． 解　由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝a，PF2＝a， 在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值， 因为cos∠F1PF2≥－1， 所以cos∠F1PF2＝－e2≥－1， 解得e≤，即e的最大值为. 11．(多选)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为(　　) A.－y2＝1 B．y2－＝1 C．x2－＝1 D.－x2＝1 答案　AB 解析　由题意知c＝，设双曲线C的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)， ∴－＝1， ∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5， ∴λ＝4或λ＝－4. 故双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1. 12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 答案　ACD 解析　易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确； 由a＝b＝1得c＝，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误； 不妨设F1(－，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离d＝＝1，选项C正确； 由·＝0得，PF1⊥PF2，因此点P在圆x2＋y2＝2上，由得，y2＝，所以|y|＝，因此，＝F1F2·|y|＝×2×＝1，选项D正确． 13．(5分)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点M为双曲线上一点，若M到原点的距离MO＝5，则△MF1F2的面积是__________． 答案　16 解析　不妨取点M在双曲线的右支上， 由MO＝5可得点M在圆x2＋y2＝25上， 又易知F1F2＝10， 所以F1F2即为圆x2＋y2＝25的直径， 所以MF1⊥MF2， 利用双曲线定义可得MF1－MF2＝6， 利用勾股定理可得MF＋MF＝100， 所以(MF1－MF2)2＝MF＋MF－2MF1·MF2＝36， 可得MF1·MF2＝32， 因此△MF1F2的面积为S＝MF1·MF2＝16. 14．(5分)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________． 答案　2 解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)． 设点P(x，y)， 则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)． ∵·＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. ∴|＋|＝＝＝2. 15．(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D. 答案　AB 解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况． 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示． 图1　　　　　　　图2 所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝， 即＝或＝. 又b2＝c2－a2， 所以＝3或＝，所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝. 同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或＝，所以＝或＝，亦可得到e＝或e＝2. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 16．(11分)已知点P(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(7分) (2)已知点A(4,0)，求PA的最小值．(4分) (1)证明　由已知可得a＝，b＝1， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x， 因为点P(x0，y0)到直线y＝x， 即直线x－y＝0的距离d1＝， 点P(x0，y0)到直线y＝－x， 即直线x＋y＝0的距离d2＝， 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积 d1d2＝·＝， 又点P(x0，y0)在双曲线上， 所以－y＝1， 所以x－5y＝5， 所以d1d2＝是一个常数． (2)解　因为点P在双曲线上， 则x0≤－或x0≥， 所以PA2＝(x0－4)2＋y＝(x0－4)2＋－1 ＝x－8x0＋15＝2＋， 当x0＝时，PA2的最小值为， 所以PA的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $