第3章 3.2.2 第1课时 双曲线的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦双曲线的几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆性质的研究方法，系统梳理双曲线的范围、对称性、顶点、轴长、离心率及渐近线等性质。同时借助对比表格明确双曲线与椭圆在曲线形状、顶点数量、轴的名称等方面的差异，构建从已知到未知的学习支架。 资料设计突出类比迁移与分类讨论，引导学生用数学眼光观察双曲线与椭圆的联系与区别，通过例题变式训练培养推理能力。知识梳理表格化呈现性质，规范解题步骤强化数学语言表达，课中助力突破焦点位置判断等难点，课后分层练习帮助学生巩固知识查漏补缺。

3.2.2　双曲线的几何性质 第1课时　双曲线的几何性质 [学习目标]　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.3.根据几何条件求双曲线的标准方程． 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从椭圆的图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质． 一、根据双曲线方程研究几何性质 知识梳理 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 性质 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实半轴长＝a，虚半轴长＝b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心． (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝.为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)． 注意点： (1)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (3)焦点到渐近线的距离为b. (4)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a. (5)双曲线与椭圆的不同点： 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实轴、虚轴 长轴、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e>1 0<e<1 a，b，c的关系 a2＋b2＝c2 a2－b2＝c2 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解　把双曲线的方程化为标准方程为－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 延伸探究　把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？ 解　把双曲线的方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1， ∴a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上，∴顶点坐标为(0,2)，(0，－2)， 焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4， 虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 跟踪训练1　(多选)已知双曲线－＝1，对于∀k∈R且k≠0，则下列四个选项中因k改变而变化的是(　　) A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 答案　AC 解析　∵双曲线的方程为－＝1，k∈R且k≠0， ∴a2＝2k2，b2＝k2，c2＝3k2， 焦距为2c＝2|k|， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标(±|k|,0)，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标． 二、由几何性质求双曲线的标准方程 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 即c＝3且焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 反思感悟　由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论． 跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点． 解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，在x轴上的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)． 则双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，顶点坐标为(－1,0)，(1,0)． 故双曲线的标准方程为x2－＝1. 三、求双曲线的离心率 知识梳理 离心率 (1)定义 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e. 由a2＋b2＝c2，可得e＝＝. (2)范围 由c>a>0可知双曲线的离心率e>1. (3)几何意义 由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 例3　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________． 答案　或 解析　当焦点在x轴上时，＝2， 这时离心率e＝＝＝. 当焦点在y轴上时，＝2，即＝， 这时离心率e＝＝＝. (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值． 解　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 跟踪训练3　过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________． 答案　2＋ 解析　如图，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2， 不妨令点P的坐标为(2a，－b)， 此时＝＝， 得到c＝(2＋)a， 即双曲线C的离心率e＝＝2＋. 1．知识清单： (1)根据双曲线方程研究几何性质． (2)由几何性质求双曲线的标准方程． (3)求双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　B 解析　∵e＝，∴＝，即＝3， ∴b2＝2a2，∴渐近线方程为y＝±x. 3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 4．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 答案　2 解析　由题意知－＝1， c2＝a2＋b2＝4， 解得a＝1， 所以e＝＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　C 解析　双曲线方程化为标准方程为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)， 可知渐近线方程为y＝±x， 又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为， 故＝tan ＝， 即渐近线方程为y＝±x. 3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为(　　) A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36 C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36 答案　A 解析　椭圆4x2＋y2＝64化为标准方程为＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝， 从而a′＝6，b′2＝12， 故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36. 4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　) A．2 B. C．2 D．4 答案　B 解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b. 所以渐近线方程为y＝±x， 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a＝1， 所以a＝b＝， 所以双曲线C的方程为－＝1， 焦点坐标为(－2,0)，(2,0)， 所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝. 5．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．PF的最小值为2 答案　AD 解析　 双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确；PF的最小值为c－a＝2，D正确． 6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D．5 答案　B 解析　设PF1＝4k，则PF2＝6k，F1F2＝5k，k>0，所以e＝＝＝. 7．(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________________． 答案　－＝1 解析　由焦点坐标，知焦点在x轴上且c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1. 8．(5分)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝. 9．(10分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切． (1)求双曲线的离心率；(5分) (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．(5分) 解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，则＝4，解得k＝. 若双曲线焦点在x轴上，则＝，e＝； 若双曲线焦点在y轴上，则＝，e＝， 故所求双曲线的离心率为e＝或e＝. (2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)， 由PF1⊥PF2得·＝0. 所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5， 由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25， 所以a＝3，b＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 10．(12分)设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解　设直线l的方程为＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11．已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋ay＝0，则双曲线C的焦距为(　　) A．2 B．4 C. D．2 答案　D 解析　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 得＝，解得a＝1， 则双曲线的方程为x2－y2＝1，则c＝＝， 则焦距为2c＝2. 12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 答案　D 解析　不妨取点M在第一象限，如图所示， 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a， ∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M点的坐标为(2a，a)． ∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b， ∴c＝a，e＝＝. 13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　B 解析　设椭圆与双曲线的标准方程分别为 ＋＝1(a>b>0)， －＝1(m>0，n>0)， 因为它们共焦点， 所以设它们的半焦距均为c， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝， e2＝， 由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m， 即2m＝a，所以＝＝＝2. 14．(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2的值为________． 答案　 解析　由题意得，e＝＝， 点M的横坐标为c，将x＝c代入双曲线C的方程， 得－＝1，所以y＝±， 又y>0，所以M， 所以tan∠MF1F2＝＝＝＝＝＝. 15．(5分)张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6； 乙：该双曲线的虚轴长为8； 丙：该双曲线的焦距为5； 丁：该双曲线的一条渐近线方程可以为y＝x. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是________． 答案　 丙 解析　设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，有c2＝a2＋b2，即c>a，c>b， 显然甲、乙、丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的， 此时a＝3，b＝4，则该双曲线的一条渐近线方程可以为y＝x，丁的结论也正确，符合题意， 所以结论错误的同学是丙． 16．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(5分) (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．(7分) 解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1. (2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x， 设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)， 由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0， 由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0. 因为x1x2＝－， ·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2， 所以m2＝3，即m＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $