第3章 3.1.1 第1课时 椭圆的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦椭圆的标准方程核心知识点，从动手操作引入椭圆定义，通过建系推导焦点在x轴、y轴的标准方程，结合例题与跟踪训练巩固方程求解及直线与椭圆位置关系判断，构建“定义-推导-应用”完整学习支架。 资料以问题驱动探究，如笔尖画椭圆引导学生用数学眼光抽象定义，方程推导中严谨推理培养数学思维，表格梳理方程规范数学语言。例1辨析定义中2a与焦距关系，课中助教师引导学生主动探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

3.1.1　椭圆的标准方程 第1课时　椭圆的标准方程 [学习目标]　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系． 导语 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 一、椭圆的定义 问题1　在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 知识梳理 椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值． (2)定值必须大于两定点的距离． (3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在． 例1　命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　利用椭圆定义，若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件． 反过来，若PA＋PB＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的． 这是因为当2a>AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点轨迹不存在，∴甲不是乙的充分条件． 综上，甲是乙的必要不充分条件． 反思感悟　椭圆的定义要求动点到两定点间的距离之和为常数且大于两定点间的距离． 跟踪训练1　(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PA＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<AB，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误． 二、椭圆的标准方程 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求椭圆方程． 提示　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2a(2a>2c)， 以F1，F2所在的直线为x轴、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)． 设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a， 即＋＝2a. 将这个方程移项后两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2， 整理得a2－cx＝a. 两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)， 于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得＋＝1. 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上． 这样，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)的椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．以上两种方程都叫作椭圆的标准方程． 知识梳理 椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 注意点： (1)在椭圆的两种标准方程中总有a>b>0. (2)方程的左侧是两项平方和的形式，右侧是常数1. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 例2　根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上； (3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. 解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10， ∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)方法一　∵焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵2c＝2， ∴a2＝b2＋1， 又椭圆经过点P， ∴＋＝1，解得b2＝3， ∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　∵焦点在x轴上， ∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵两焦点间的距离为2， ∴c＝1，焦点的坐标分别为(－1,0)和(1,0)， 又点P在椭圆上， 则由椭圆的定义知2a＝＋＝4， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (3)∵c＝， ∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. ∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 反思感悟　利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要讨论焦点在x轴上和在y轴上的两种情况． 跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点. 解　(1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12， 且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意知， 解得 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　由题意得，椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点， 则由椭圆的定义知2a＝＋＝＋ ＝2， ∴a＝. 又∵c＝2， ∴b2＝a2－c2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 三、直线与椭圆的位置关系 知识梳理 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 例3　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②， 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3. 于是，当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题． 跟踪训练3　直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案　A 解析　方法一　由 消去y得(4＋9k2)x2－18k2x＋9k2－36＝0， Δ＝(－18k2)2－4(4＋9k2)(9k2－36)＝576(2k2＋1)>0恒成立， ∴直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为相交． 方法二　直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)， ∴直线恒过点(1,0)， 又＋<1，即点(1,0)在椭圆的内部， ∴直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为相交． 1．知识清单： (1)椭圆的定义． (2)椭圆的标准方程． (3)直线与椭圆的位置关系． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 答案　D 2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 答案　B 解析　MF1＋MF2＝F1F2＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2. 3．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 答案　A 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1， 得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离． 4．已知椭圆的焦点为(0，－1)和(0,1)，点P(1,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 答案　D 解析　由已知得焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则c＝1，又由点P(1,0)在椭圆上， 则＋＝1， 可得b＝1，则a2＝2， ∴椭圆的标准方程为＋x2＝1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 答案　C 解析　因为椭圆的焦点在y轴上， 且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)． 2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0,3)∪(3，＋∞) C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　联立直线和椭圆方程，得 所以(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意知Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m<0或m>1，因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3. 3．设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋(m>2)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 答案　A 解析　设y＝m＋(m>2)，易知y＝m＋在(2，＋∞)上为增函数，所以y＝m＋>4，即PF1＋PF2>4，又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆． 4．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若方程＋＝1表示椭圆， 则解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的必要不充分条件． 5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．a>3 B．a<－2 C．a>3或a<－2 D．a>3或－6<a<－2 答案　D 解析　由a2>a＋6>0，得 所以所以a>3或－6<a<－2. 6．(多选)已知椭圆C1：4x2＋y2＝4，C2：＋＝1，则(　　) A．C1，C2的焦点都在x轴上 B．C1，C2的焦距不相等 C．C1和直线y＝k(x－2)一定相交 D．C2和直线y＝k(x－2)一定相交 答案　BD 解析　因为椭圆C1的标准方程为x2＋＝1， 所以椭圆C1的焦点在y轴上，所以A不正确； 又由椭圆C1的焦距为2×＝2， 椭圆C2的焦距为2×＝2，所以B正确； 直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，由22＋>1， 得这个定点在C1的外部，和C1不一定相交，所以C不正确； 由＋<1， 得这个定点在C2的内部，和C2一定相交，所以D正确． 7．(5分)设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则PF1·PF2的最大值是________． 答案　9 解析　由题意得PF1＋PF2＝2a＝6， 则PF1·PF2≤＝9， 当且仅当PF1＝PF2＝3时取等号． 8．(5分)已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________． 答案　＋x2＝1 解析　由已知得2a＝8,2c＝2， 所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 9．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(5分) (2)焦点在y轴上，焦距为4，且经过点(1，)．(5分) 解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意可知a＝5，c＝3， 所以b2＝a2－c2＝52－32＝16， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由于焦距为4，即2c＝4，所以c＝2， 又因为椭圆经过点(1，)． 则 解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 10．(12分)求直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的公共点的坐标． 解　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， 解得x＝－1或x＝. ∴所求公共点的坐标为(－1,0)和. 11．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为(　　) A．8 B．2 C．4 D. 答案　C 解析　由椭圆定义知MF1＋MF2＝2a＝10，又MF1＝2，所以MF2＝8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以ON＝MF2＝4. 12．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　C 解析　根据椭圆定义，得AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8， 所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16， 所以AF1＋BF1＝16－AB＝11. 13．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易知sin α≠0，cos α≠0， 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0.又α∈，所以<α<. 14．(5分)已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程为____________． 答案　＋＝1 解析　由已知，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)， 又椭圆经过点P(2，) 则＋＝1，① 又PF1＋PF2＝2F1F2， 由椭圆的定义得2a＝4c，即a2＝4c2， 因为a2－b2＝c2，所以b2＝3c2，代入①式 得a2＝8，b2＝6， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 15．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为(　　) A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12 答案　C 解析　如图， 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PA＋PB＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PM＋PN最小，最小值为PA＋PB－2r＝8(r为两圆半径)．延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时PM＋PN最大，最大值为PA＋PB＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12. 16．(12分)已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)， 由 消x得9y2－2ay＋a2－8＝0， 由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0， 它们之间的距离即为所求的最短距离， 且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离为d＝＝. 由 得即P. 学科网（北京）股份有限公司 $