第3章 §3.3 3.3.2 抛物线的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦抛物线的几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆、双曲线的研究方法引入，系统梳理四种标准方程下的范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率及通径等性质，构建从定义到性质再到应用的完整学习支架。 资料以太阳灶等实际应用为情境引入，体现用数学眼光观察现实世界，通过表格对比和例题解析培养数学思维，助力教师课中高效授课，课后练习题与知识清单帮助学生巩固知识，提升应用能力。

3.3.2　抛物线的几何性质 [学习目标]　1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 导语 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质． 一、抛物线的几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示　应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图形进行研究． 知识梳理 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) 2.通径：过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径，通径长等于2p. 注意点： (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 例1　(1)抛物线y＝x2的通径为________． 答案　2 解析　抛物线的标准方程为x2＝2y，所以p＝1， 通径为2. (2)已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)， 所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 二、由抛物线的几何性质求标准方程 例2　(1)抛物线y2＝mx(m>0)的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝16x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝2x 答案　B 解析　抛物线y2＝mx(m>0)的准线为x＝－，准线x＝－与直线x＝1的距离为1＋， 故1＋＝3，解得m＝8， 故此抛物线的方程为y2＝8x. (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程． 解　设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)． 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以＝10.① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.② 由①②，得或 或或 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 反思感悟　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程． 跟踪训练2　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________． 答案　x2＝16y 解析　因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以＝＝2， 所以b＝a， 所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0. 所以抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2， 所以p＝8， 所以所求的抛物线方程为x2＝16y. (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝4，求抛物线的方程． 解　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 准线交x轴于点G， 设BF＝a，则由已知得，BC＝2a， 由定义得，BD＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，2AE＝AC， ∵AF＝4，AC＝4＋3a， ∴4＋3a＝8，从而得a＝， ∵BD∥FG， ∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x. 三、抛物线性质的实际应用 例3　如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 解　(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即使MA＋MB的值最小． 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得MB＝MH， 所以MA＋MB＝MA＋MH，故当A，M，H三点共线时，MA＋MH取得最小值，即MA＋MB取得最小值，此时M. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 反思感悟　解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算． 跟踪训练3　如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 解　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)． 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40,30)， 代入抛物线方程得302＝2p×40， 解得p＝， 则焦点的坐标为. 故光源应安置在与顶点相距 cm处． (2)由(1)可得抛物线的方程为y2＝x. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为＝33. 故将y＝33代入抛物线方程得x＝48.4. 此时，探照灯的深度为48.4 cm. 1．知识清单： (1)抛物线的几何性质． (2)由抛物线的几何性质求标准方程． (3)抛物线几何性质的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为 答案　B 解析　由抛物线y＝4x2， 得抛物线的标准方程为＝x2,2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 答案　CD 解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，则有42＝2p·，解得p＝4(舍负)． ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 3.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东方向2 km处，B地在A地北偏东60°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L的距离和到A地的距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B两地修建公路的费用都为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是(　　) A．(2＋)a万元 B．(2＋1)a万元 C．5a万元 D．6a万元 答案　C 解析　设点M 到直线L的距离为d，则d＝MA.d＋MB的最小值即为点B到直线L的距离．因为B地在A地北偏东60°方向2km处，所以B地到A地的水平距离为3 km，所以B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元． 4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A.或 B.或 C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，PF＝PO， 又F，所以x0＝， 所以y＝，所以y0＝±. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　D 解析　由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为， 将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)， 根据题意可得＝2，所以m＝4. 2．A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2 答案　A 解析　如图， 过点A作准线的垂线，垂足为点C，过点F作AC的垂线，垂足为点B，如图，由∠OFA＝120°，得AB＝AF＝2，点A到准线的距离为d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1. 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若AB＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易得线段AB所在的直线方程为x＝1， 又抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线AB的距离为1－＝. 4．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则△OFM的面积为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　B 解析　由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，焦点F，由抛物线的性质知点M到焦点的距离等于到准线的距离，可得5＝4＋， 解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，将M代入抛物线方程可得y＝16，解得|y0|＝4， 所以S△OFM＝OF·|y0|＝×1×4＝2. 5.如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4 km，城镇P位于点O的北偏东30°方向10 km处，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．为了降低修路成本，则修建的两条公路总长最小值约为(　　) (≈24.515，结果精确到0.001 km) A．24.515 km B．19.612 km C．9.806 km D．3.922 km 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系， 由题意得，＝0.4，则抛物线C：y2＝1.6x.设抛物线C的焦点为F，则F(0.4,0)，∵城镇P位于点O的北偏东30°方向10 km处，∴P(5,5)， 则公路总长Q′F＋Q′P≥PF＝≈9.806(km)． 当且仅当P，Q，F三点共线时，等号成立． 6．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 答案　C 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，∴抛物线方程为y2＝±x. 7．(5分)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________． 答案　－ 解析　∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4. ∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)， 根据斜率公式得kAF＝＝－. 8．(5分)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________. 答案　6 解析　如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，OF＝2， ∵M为FN的中点，MM′＝1， ∴M到准线的距离 d＝MM′＋＝3， ∴MF＝3，∴FN＝6. 9．(10分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(3分) (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．(7分) 解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则OF＝OM. 因为F(2,0)， 所以OM＝OF＝3， 所以M(3,0)． 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3,2)，B(3，－2)， 所以OA＝OB＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 10．(12分)如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米？ 解　如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径． 由已知，得A点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 则36＝2p×2，p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋的长度． AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米． 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝4OF，△MFO 的面积为4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x 答案　B 解析　设M(x1，y1)， 则由MF＝4OF得x1＋＝4×， 即x1＝p，则y＝3p2， 则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 12．抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝， ∴＋＝6，∴p＝8. 13．(多选)点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　AB 解析　抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－， 因为点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以＝2，解得a＝或a＝－. 14．(5分)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________. 答案　6 解析　抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－. 将y＝－代入－＝1，得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6(舍负)． 15．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为(　　) A．2＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　B 解析　设抛物线y2＝2x的焦点为F， 则四边形ABNM的周长l＝AB＋2AM＋2xM＝2＋2AM＋2MF－1 ＝1＋2(AM＋MF)≥1＋2AF＝1＋， 当且仅当A，M，F三点共线时取等号． 故四边形ABNM周长的最小值为1＋. 16．(12分)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. (1)若点C的纵坐标为2，求MN；(3分) (2)若AF2＝AM·AN，求圆C的半径．(9分) 解　(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)， 所以点C到准线l的距离d＝2， 又CO＝， 所以MN＝2＝2＝2. (2)设C， 则圆C的方程为2＋(y－y0)2＝＋y， 即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1， 得y2－2y0y＋1＋＝0， 设M(－1，y1)，N(－1，y2)， 则 由AF2＝AM·AN，得|y1y2|＝4， 所以1＋＝4，解得y0＝±，此时Δ>0， 所以圆心C的坐标为，OC2＝， 所以OC＝，即圆C的半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $