第15练 抛物线的几何性质（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第15练　抛物线的几何性质 一、选择题 1．抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵抛物线y＝－x2，即x2＝－y， ∴焦点坐标是. 2．抛物线y＝3x2的准线方程为(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．y＝－ D．y＝－ 答案　D 解析　抛物线y＝3x2的标准方程为x2＝y， 所以抛物线的标准方程为y＝－. 3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且AB＝4，则p等于(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　如图，因为AB＝4，所以AF＝4， 过点A作x轴的垂线，垂足为C， 则∠AFC＝， 则FC＝2，AC＝2， 所以A， 因为点A在抛物线上， 所以12＝2p×，整理得，p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)． 4．已知某桥的拱顶可近似地看作抛物线x2＝－16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为(　　) A．6米 B．2 米 C．8 米 D. 米 答案　B 解析　如图所示． 设鸽子所在位置为点P(x，y)(x>0，y<0)， 因为它到抛物线焦点的距离为10米， 所以|y|＋4＝10，解得y＝－6， 则x2＝－16×(－6)＝96， 所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OP＝＝2. 5．(多选)若抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　) A. B. C. D. 答案　AB 解析　当抛物线的对称轴是x轴时，抛物线方程为y2＝x，准线为x＝－， 点A到此抛物线的焦点的距离为1＋＝； 当抛物线的对称轴是y轴时，抛物线方程为x2＝4y，准线为y＝－1，点A到此抛物线的焦点的距离为1＋＝. 二、填空题 6．抛物线y2＝4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为________． 答案　4 解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为(1,0)，当x＝1时，y＝±2， 故抛物线y2＝4x的通径长为4. 7．已知抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＋＝1的左焦点，则抛物线C的准线方程是______________． 答案　x＝2 解析　∵椭圆E：＋＝1， ∴c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2， 又∵抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＋＝1的左焦点， ∴抛物线C的焦点为(－2,0)，则抛物线C的准线方程为x＝2. 8．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB＝__________. 答案　 解析　由题意得抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，则直线AB的方程为y＝(x－1)， 联立消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝， 从而AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 9．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q.若直线PF的斜率为，则△PQF的面积为________． 答案　 解析　抛物线y2＝2x的焦点为F， 设P，y0>0， 则＝， 解得y0＝或y0＝－(舍去)， 所以P，又因为准线方程为x＝－， 则Q，PQ＝2， S△PQF＝×PQ·|yQ|＝×2×＝. 三、解答题 10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)已知点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 解　(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x， 其准线方程为x＝－2. (2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意． ②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意． ③当直线l的斜率存在且不为0时， 设直线l的方程为y＝kx＋2. 由消去x得ky2－8y＋16＝0. 由Δ＝64－64k＝0，得k＝1， 故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $