第3章 §3.3 3.3.1 抛物线的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义围绕抛物线的标准方程展开，从定义引入（通过信息技术作图发现几何条件），到类比椭圆双曲线建系推导四种标准方程，再到定义应用（距离转化、最值问题）及实际应用（拱桥问题），通过问题引导、知识梳理表格及例题解析搭建学习支架。 资料以篮球运动轨迹等现实情境结合信息技术动态演示培养数学眼光，通过类比推理与转化化归发展数学思维，以拱桥实例建模体现数学语言表达。问题驱动探究与分层练习设计，课中助力直观教学，课后便于学生回顾巩固查漏补缺。

3.3.1　抛物线的标准方程 [学习目标]　1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用． 导语 我们知道向上抛出篮球的运动路线是抛物线，美丽的喷泉也是抛物线，我们如何来定义抛物线呢？如何建立恰当的坐标系求抛物线的方程呢？ 一、抛物线的定义与标准方程 问题1　利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示　在点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 注意点： 平面内到一定点F的距离与到一定直线l的距离相等的点的轨迹不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；当直线l不经过点F时，点的轨迹是抛物线． 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则F，又设P(x，y)为抛物线上任意一点．过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)焦点位置：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． (3)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离． 例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点． 解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)． 又＝2， ∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． 故所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y或y2＝－60x. 反思感悟　(1)求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 ①依据条件设出抛物线的标准方程． ②求参数p的值． ③确定抛物线的标准方程． (2)焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设抛物线的标准方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，简化讨论过程． (3)求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得焦点坐标与准线方程． 跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________． 答案　2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以＝1，解得p＝2，故准线方程为x＝－＝－1. (2)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案　x2＝10y和x2＝－10y 解析　设抛物线的标准方程为x2＝2py(p≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|p|＝5，得p＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 二、抛物线定义的应用 例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由＋x0＝x0， 解得x0＝1. (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，当A，P，F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝ ＝. 延伸探究 1．若将本例(2)中的点A(0,2)改为点A(3,2)，求PA＋PF的最小值． 解　将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部． 点P为抛物线上一点，设点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则PA＋PF＝PA＋d. 由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为. 即PA＋PF的最小值为. 2．若将本例(2)中的点A(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin. A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1. 即所求最小值为1. 反思感悟　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 答案　D 解析　抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ∴＋2＝4，解得p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3. 三、抛物线的实际应用 例3　某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米． 答案　3.84 解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25. 即抛物线方程为x2＝－25y. ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6. 由图知，AB是最长的支柱之一． 设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)， ∴AB＝yB－(－4)＝－＋4＝3.84， ∴最长支柱的长为3.84米． 反思感悟　解决抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． 跟踪训练3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解　如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，代入解得p＝， 得x2＝－y. 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航． 1．知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程． (3)抛物线的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y 答案　B 解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax， 则(－)2＝a， 解得a＝2， 因此抛物线的标准方程是y2＝2x. 2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D．4 答案　C 解析　根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝. 3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． 答案　6 解析　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离是4＋2＝6. 4.如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 答案　2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．到直线l：x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 答案　C 解析　动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等， 所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线． 2．已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案　D 解析　∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)， ∴抛物线是焦点在x轴负半轴上的抛物线， 且＝1，得p＝2. ∴抛物线的标准方程为y2＝－4x. 3．抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案　A 解析　因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1. 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案　B 解析　∵抛物线的准线方程为x＝－， ∴－＝－1，∴＝1， 故抛物线的焦点坐标为(1,0)． 5．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 答案　AC 解析　若抛物线的焦点在x轴上， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 又因为抛物线经过点P(4，－2)， 所以(－2)2＝2p×4，解得p＝， 所以抛物线的标准方程为y2＝x. 若抛物线的焦点在y轴上， 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 又因为抛物线经过点P(4，－2)， 所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4， 所以抛物线的标准方程为x2＝－8y. 6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　A 解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 7．(5分)在抛物线y2＝－12x上，且到抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________． 答案　(－6,6)，(－6，－6) 解析　由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x＝9， 解得x＝－6， 代入y2＝－12x，得y＝±6. ∴所求点的坐标为(－6,6)，(－6，－6)． 8．(5分)已知抛物线y2＝4x上有一动点M，则点M与点N(4,0)距离的最小值为__________． 答案　2 解析　设M(x，y)， 则MN2＝(x－4)2＋y2＝(x－4)2＋4x＝(x－2)2＋12(x≥0)， 当x＝2时，MN2取得最小值12， 故MNmin＝2. 9．(10分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程． 解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 10．(10分)抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标． 解　设焦点为F， M点到准线的距离为d， 则d＝MF＝10， 即9＋＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝－4x. 将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6. ∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 11．(多选)关于抛物线y2＝10x，下列说法正确的是(　　) A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2,1) 答案　BD 解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误； 设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋＝≠6，所以C错误； 由于抛物线y2＝10x的焦点为， 由题意知过原点的直线方程为y＝x， 设过焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，直线过点(2,1)， 则k＝－2，因为×(－2)＝－1，所以D正确． 12.如图，某桥的桥身可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥身对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示， 以桥顶为坐标原点，桥身的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥身对应的抛物线的焦点到准线的距离为. 13．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则QF等于(　　) A. B. C．3 D．2 答案　C 解析　过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图． ∵＝4， ∴PQ∶PF＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4， ∴QF＝QQ′＝×4＝3. 14．已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为(　　) A．5 B．2－1 C．2 D．3 答案　B 解析　由题意知C(0,3)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则x＝4y0， 所以PC＝ ＝ ＝， 故当y0＝1时，PCmin＝2， 所以PQmin＝PCmin－r＝2－1. 15．(5分)已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________. 答案　3－2 解析　抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0,2)． 所以a2＝22－12＝3， 故双曲线的方程为－x2＝1. 设P(x，y)， 因为点P在x轴上方， 故由双曲线的性质可得y≥，＝(x，y)， ＝(x，y－2)， ·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y ＝＋y2－2y－1 ＝y2－2y－1 ＝－1 ＝2－. 因为y＝<， 故函数f(y)＝2－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.所以·的最小值为3－2. 16．(13分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． 解　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． ∵AB是OD的4倍， ∴点B的坐标为. 由点B在抛物线上，得2＝－2p·， ∴p＝. ∴抛物线方程为x2＝－ay. 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点， 代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0， ∴y0＝－， ∴点E到拱底AB的距离 h＝－|y0|＝－， 令h＞3，则－＞3， 解得a＞6＋或a＜6－(舍去)． ∴a的最小整数值为13. 学科网（北京）股份有限公司 $