第1章 再练一课(范围：§1.1～§1.5)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

再练一课(范围：§1.1～§1.5) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 答案　A 解析　由点到直线的距离公式可得d＝＝7. 2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　联立解得 ∴交点(－1,1)在第二象限． 3．若直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直，则实数a的值为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　D 解析　直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，斜率为＝－，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2. 因为直线l经过点(2a－1，－1)和(－1,1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直， 所以－×(－2)＝－1，解得a＝－2. 4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－. 5．一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　) A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0 C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　B 解析　如图所示，反射光线所在直线的倾斜角与直线AB的倾斜角互补． ∴反射光线所在直线的斜率为k＝－kAB＝－＝2. 因此所求直线方程为y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 6．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(　　) A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一的一组解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两组解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多组解 答案　B 解析　易知直线y＝kx＋1一定不过原点O，因为P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，所以OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0.所以二元一次方程组一定有唯一的一组解． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．下列说法正确的是(　　) A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1) C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 答案　AB 解析　A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确； B选项，在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确； C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误； D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误． 8．在平面直角坐标系中，记d为点P(cos α，sin α)到直线mx＋y－2＝0的距离，当α，m变化时，d的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　ABC 解析　直线mx＋y－2＝0过定点A(0,2)，因此点P到直线距离的最大值为PA. ∵PA＝＝， ∴当sin α＝－1时，PAmax＝＝3，当sin α＝1时，PAmin＝＝1，故选ABC. 9．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1，0) C．如果l1与l2交于点M，则MO的最大值是 D．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 答案　ABC 解析　对于A，如果a＝0，则l1：y＝1，l2：x＝－1，分别平行于x轴和y轴，显然l1⊥l2； 如果a≠0，则＝a，＝－，＝－1， ∴l1⊥l2恒成立，故A正确； 对于B，对于直线l1，当x＝0时，y＝1，则l1过定点(0,1)， 对于直线l2，当y＝0时，x＝－1，则l2过定点(－1,0)，故B正确； 对于C，联立解得 即M， ∴MO＝＝≤，即MO的最大值是，故C正确； 对于D，在l1上任取点(x，ax＋1)，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)， 代入l2的方程知－ax－1－ax＋1＝－2ax，当a＝0时，－2ax＝0，则点(－ax－1，－x)在l2上， 当a≠0，x≠0时，－2ax＝0不成立，则点(－ax－1，－x)不在l2上， 此时l1与l2不关于直线x＋y＝0对称，故D错误． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知直线l经过A(－cos θ，sin2θ)，B(0,1)两个不同的点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________． 答案　∪ 解析　当cos θ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B两点重合， 所以cos θ≠0， 所以直线l的斜率k＝＝cos θ∈， 因此直线l的倾斜角的取值范围是∪. 11．已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4)．若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________；若从点M(m,0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是______．(结果用m表示) 答案　x－2y＋2＝0　 解析　设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0， ∴ 解得x0＝4，y0＝3，故P′(4,3)，又Q(－2,0)， ∴直线P′Q：y－0＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0. 点M(m,0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为M1(－m,0)， 设点M(m,0)关于直线AB的对称点为M2(x1，y1)， 由 解得x1＝4，y1＝4－m，故M2(4,4－m)． 故M1M2＝＝. 12．已知直线l过点P(1,2)且与x轴、y轴分别交于A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)两点，O为坐标原点，则|OA|＋2|OB|的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)， ∴可设直线l的截距式方程为＋＝1， ∵直线l过点P(1,2)，∴＋＝1，且a>0，b>0， ∴|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当 即a＝b＝3时，等号成立，此时|OA|＋2|OB|取得最小值9. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范围；(6分) (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．(6分) 解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0， 所以ab＝a＋，|ab|＝≥2， 当且仅当a＝±1时等号成立， 因此|ab|的最小值为2. 14．(12分)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程． 解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线， 得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)， 所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 15．(13分)在平面直角坐标系中，已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1，求该三角形面积的最小值． 解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 则直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S＝ab， 又由三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1， 得ab＝a＋b＋1；① 因为a>0，b>0⇒a＋b＋1≥2＋1， 结合①得ab≥2＋1⇒()2－4－2≥0⇒≥2＋(≤2－舍去)； 所以ab≥(2＋)2＝10＋4， 当且仅当a＝b＝2＋时等号成立， 即当a＝b＝2＋时，该三角形面积最小，为(10＋4)＝5＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $