第一章 利用平行与垂直求参数、利用平行与垂直求方程、平行与垂直在几何中的应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦平行与垂直的参数计算、方程求解及几何应用，形成从基础到综合的递进式训练体系，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行与垂直求参数|8题（4例+4变式）|选择/填空题，含充分必要条件判断|从平行、垂直的代数条件出发，强化参数计算的严谨性| |利用平行与垂直求方程|8题（4例+4变式）|选择/填空题，涉及点斜式应用|以参数求解为基础，构建直线方程，体现知识迁移| |平行与垂直在几何中的应用|6题（3例+3变式）|解答题，含平行四边形、三角形等图形|综合运用前两模块知识，解决几何图形中的位置关系问题，发展空间观念|

利用平行与垂直求参数、利用平行与垂直求方程、平行与垂直在几何中的应用专项训练 利用平行与垂直求参数、利用平行与垂直求方程、平行与垂直在几何中的应用专项训练 考点目录 利用平行与垂直求参数 利用平行与垂直求方程 平行与垂直在几何中的应用 考点一 利用平行与垂直求参数 例1．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 例3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，：，若，则的值为______． 例4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若直线和直线垂直，则实数m的值为__________. 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 变式3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则________． 变式4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知两条直线：，：，且，则______. 考点二 利用平行与垂直求方程 例1．（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为_________． 例4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是________． 变式1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过点与平行，则的方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河南信阳·期末）过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 变式4．（25-26高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______ 考点三 平行与垂直在几何中的应用 例1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 例2．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 例3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）的三个顶点分别是，，. (1)求边的垂直平分线所在直线方程； (2)求内边上中线方程. 变式1．（22-23高二上·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 变式2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： (1)AD边所在直线的方程； (2)对角线BD所在直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行与垂直求参数、利用平行与垂直求方程、平行与垂直在几何中的应用专项训练 利用平行与垂直求参数、利用平行与垂直求方程、平行与垂直在几何中的应用专项训练 考点目录 利用平行与垂直求参数 利用平行与垂直求方程 平行与垂直在几何中的应用 考点一 利用平行与垂直求参数 例1．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【详解】直线平行，则， ， 解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 例3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，：，若，则的值为______． 【答案】 【分析】当两条直线垂直时，若直线与直线垂直，则满足.我们可以根据这个定理来求解的值. 【详解】对于直线和，根据两直线垂直的定理，则可得方程. 对进行求解. . 故答案为：. 例4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若直线和直线垂直，则实数m的值为__________. 【答案】1 【分析】根据两条直线垂直的充要条件得，解方程即可得答案； 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得 故答案为： 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】D 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且， 所以，解得， 当时，的方程为， 即，此时满足. 故选：B 变式3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则________． 【答案】1 【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值. 【详解】直线与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 变式4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知两条直线：，：，且，则______. 【答案】 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 考点二 利用平行与垂直求方程 例1．（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【详解】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A 例2．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【详解】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C 例3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标，求出，即可得解. 【详解】依题意设直线的方程为，所以， 解得，所以直线的方程为. 故答案为： 例4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为，则得到，直接写出点斜式方程即可. 【详解】因为直线l与直线垂直，所以，解得：， 所以直线l的方程为，即. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过点与平行，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出的方程，利用点求得正确答案. 【详解】设直线， 代入得， 所以直线的方程是. 故选：B 变式2．（25-26高二上·河南信阳·期末）过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______ 【答案】9 【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 考点三 平行与垂直在几何中的应用 例1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 例2．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明如下： 因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； (2)． 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明略； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 例3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）的三个顶点分别是，，. (1)求边的垂直平分线所在直线方程； (2)求内边上中线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到线段的中点，再利用垂直平分线得到，接着用点斜式即可求解； （2）利用截距式即可得到中线的方程，注意加上对应范围 【详解】（1）由，可得线段的中点为，， 因为是边的垂直平分线，所以， 则所在直线方程：即 （2）由（1）可得线段的中点为， 故边上中线方程为即， 所以内边上中线方程： 变式1．（22-23高二上·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 变式2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先根据垂直关系求的斜率，再代入点斜式直线方程； （2）首先利用中点坐标公式求点的坐标，再根据直线上两点求直线的斜率以及直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为； （2）因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： (1)AD边所在直线的方程； (2)对角线BD所在直线的方程． 【答案】(1)2x－y＋15＝0 (2)5x－6y＋1＝0 【分析】（1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程. （2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果. 【详解】（1），∵AD∥BC，∴． ∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0． （2）∵． 又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴． 又∵AC的中点，也是BD的中点， ∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0． 2 学科网（北京）股份有限公司 $