第1章 1.5.2 第3课时 对称问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学对称问题核心知识点，系统梳理点点、点线、线线对称的原理，包括中点坐标公式应用、垂直平分线性质推导，结合特殊对称结论，构建从基础原理到反射问题、最值问题应用的学习支架。 资料通过反射光线路径、距离最值等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过对称点坐标推导、方程联立培养数学思维，以坐标公式和方程表达对称关系体现数学语言。课中例题解析助教师高效授课，课后练习题与知识清单帮学生巩固知识、查漏补缺。

第3课时　对称问题 [学习目标]　1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题． 1．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有 可得对称点P′(x2，y2)的坐标为(2x0－x1,2y0－y1)． 2．点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点， 又因为M在直线l上，故可得 解出(x2，y2)即可． 3．直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4．直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程． 5．常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 一、几类常见的对称问题 例1　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则 解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称问题，可转化为点关于直线的对称问题． 跟踪训练1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l的对称直线方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有解得所以点R的坐标为 . (2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR为所求的直线， 方程为11x＋2y－17＝0. 二、光的反射问题 例2　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解　设原点O(0,0)关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得 解得 ∴点A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 答案　A 解析　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0. 如图，设点P关于直线AB的对称点为D(x1，y1)， 则 解得即点D的坐标为(4,2)，又点P关于y轴的对称点为C(－2,0)， 则光线所经过的路程为CD＝2. 三、利用对称解决有关最值问题 例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′， 则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.② 由①②得 ∴点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知PB－PA＝PB′－PA，当且仅当P，B′，A三点共线时，PB′－PA最大． ∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC′，当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小． ∴联立直线AC′与l的方程， 解得x＝，y＝， 即AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 反思感悟　利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，应注意两点在已知直线的同侧还是异侧． 跟踪训练3　在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MA＋AB＋BM的最小值是(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 答案　A 解析　如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则MB＝PB，MA＝AQ. 当A与B重合于坐标原点O时， MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ ＝＝10； 当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MA＋AB＋BM取得最小值，最小值为10. 1．知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题． (2)反射问题． (3)利用对称解决有关最值问题． 2．方法归纳：转化化归、数形结合． 3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆． 1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　) A．(－1，－3) B．(17，－9) C．(－1,3) D．(－17,9) 答案　A 解析　设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(－1，－3)． 2．已知A(1,4)，B(8,3)，点P在x轴上，则使AP＋BP取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4,0) B．(5,0) C．(－5,0) D．(－4,0) 答案　B 解析　因为A(1,4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，所以A′B所在的直线方程为y－3＝(x－8)，即y＝x－5，令y＝0得x＝5，所以P(5,0)． 3．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 答案　D 解析　在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，如：(1,1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为(1,1)，， 两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　) A．2 B．6 C．3 D. 答案　D 解析　由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， ∴解得∴P2(1,3)， ∴光线所经过的路程为PQ＋QM＋MP＝P1P2＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 答案　C 解析　设点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(x，y)， 则解得 故点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－6，－3)． 3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0 答案　C 解析　∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴＝， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　) A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0 C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0 答案　A 5．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(－1,2) D．(－1,1) 答案　A 解析　点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)， 由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min， 此时，直线AB1的方程为y＝(x＋3)， 令x＝－1，得y＝，故选A. 6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 答案　C 解析　点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)， 则光线从A到B的路程即A′B的长， A′B＝＝5. 即光线从A到B的路程为5. 7．(5分)已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为________． 答案　(1,0) 解析　如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM. 因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为＝，即2x－y－2＝0. 令y＝0，得x＝1， 所以点M的坐标为(1,0)． 8．(5分)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________． 答案　6x－y－6＝0 解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)， 则反射光线所在直线过点M′， 由 解得即点M′(1,0)． 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0. 9．(10分)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 解　由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P. 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小． 10．(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；(6分) (2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大．(6分) 解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则解得 故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点， 则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B， 当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则PB－PA≤AB， 当且仅当A，B，P三点共线时，PB－PA取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则 得故所求的点P的坐标为(12,10)． 11．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 答案　B 解析　设A(a，b)，则 解得所以A(－1,1)． 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝AB时取得最大值， 此时直线l2垂直于直线AB， 又－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. 12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则AC＋BC的最小值为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)， 则解得B′(2，－1)． 由平面几何知识得AC＋BC的最小值即是B′A＝＝2. 13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值， 利用对称思想可知MA＋MB≥A′B＝＝5， 即f(x)＝＋的最小值为5. 14.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于(　　) A. B. C．4 D. 答案　A 解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)， 所以直线BC的方程为x＋y－4＝0. 设P(t,0)(0<t<4)，点P关于直线BC的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2， 易得P1(4,4－t)，P2(－t,0)． 易知直线P1P2就是光线QR所在的直线． 所以直线QR的方程为 y＝(x＋t)． 设△ABC的重心为G，则G， 所以＝， 即3t2－4t＝0，所以t＝0(舍去)或t＝， 所以P1，P2. 结合对称关系可知QP＝QP1，RP＝RP2， 所以△PQR的周长即线段P1P2的长度，为＝. 15．(5分)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为______________． 答案　 解析　由题可知A，B在直线x＋y－3＝0的同侧， 设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)， 则 解得 即B′(1，－3)． 要使“将军饮马”的总路程最短， 则将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB′，又A(2,4)， 所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0， 设将军在河边饮马的地点为H， 则H为直线7x－y－10＝0与直线x＋y－3＝0的交点， 联立解得 所以H. 16．(13分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数；(9分) (2)求直线BC的方程．(4分) 解　(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)． 根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)． 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝， 即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $