1.5.2点到直线的距离 （教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.5.2点到直线的距离 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程. 掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 理解两条平行直线间的距离公式的推导.会求两条平行直线间的距离. 平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2= 1 两点间的距离 对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 2 中点坐标公式 知识回顾 ●对于平面上确定的直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 和直线 l 外一点 P(x0，y0)，如何求点 P 到直线 l 的距离呢? 新知探究 我们先看一个具体的例子. 已知点 P(2，4) 和直线 l：5x＋4y－7＝0，下面探求点 P 到直线 l 的距离. 如图 1-5-5，过点 P 作 PE⊥l，垂足为 E，则点 P 到直线 l 的距离就是线段 PE的长. 新知探究 第一步 由 PE⊥l，可知 PE 所在直线的斜率为 第二步 写出 PE 所在直线的方程:y-4=-(x-2)，即4x-5y+12=0; 方法1 通过求点 E 的坐标，用两点间距离公式求 PE. 第三步 由 l 和 PE 所在直线的方程联立方程组 解得垂足E的坐标为 第四步 利用两点间距离公式，求出点 P 到直线 l 的距离 如图1-5-6，过点 P 分别作 y 轴、x 轴的垂线，交直线 l 于点 M，N，我们通过计算 Rt△PMN 的面积求PE. 方法2 通过构造三角形，利用面积关系求点 P 到直线 l 的距离. 新知探究 还可用两点间距离公式求 MN. 第四步 由三角形面积公式可知 一般地，对于直线l：Ax＋By＋C＝0 (A≠0，B≠0)和直线 l 外一点 P(x0，y0)，过点 P 作 PQ⊥l，垂足为 Q . 过点 P 分别作 y轴、x 轴的垂线，交 l 于点 M(x1，y0)，N(x0，y1) (图1-5-7). 新知探究 因为PO是Rt△PMN斜边上的高，所以由三角形面积公式可知 当A＝0或 B＝0时，此式仍然成立. 由此，我们得到点 P(x0，y0) 到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为 新知归纳 思考：你还能通过其他途径求点 P 到直线 l 的距离吗? 典例分析 方法技巧 解题的关键： 当 A＝0 或 B＝0 时，可直接利用图形性质求出点到直线的距离. 例1.分别求点 P(－1，2) 到下列直线的距离： (1) 2x＋y－10＝0； (2) 3x＝2. 【解析】（1）根据点到直线的距离公式， 得 （2）因为直线即平行于y轴， 所以. 教材P36 例题 例2.求两条平行直线 x＋3y－4＝0 与 2x＋6y－9＝0 之间的距离. 分析 在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 典例分析 【解析】在直线上取点， 点到直线的距离就是两条平行直线之间的距离， 因此，两条平行直线之间的距离为． 教材P36 例题 思考：已知两条平行直线与你能证明直线和之间的距离为？ 新知探究 【解析】（1）在上任取一点，则． 点P到的距离d就是平行直线与的距离， 即． 例3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证明 设 △ABC 是等腰三角形，以底边 CA 所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直于 CA 的直线为 y 轴，建立直角坐标系 (图1－5－8). 典例分析 设，，则． 直线AB的方程为，即． 直线BC的方程为，即． 设底边AC上任意一点为， 则点P到直线AB的距离为，点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为．所以． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 教材P37 例题 1. 分别根据下列条件，求点 P 到直线 l 的距离： (1) P(3，－2)，l：3x＋4y－25＝0； (2) P(－2，1)，l：3y＋5＝0. 【解析】（1）因为，， 所以点P到直线l的距离为 （2）因为，，所以点P到直线l的距离为 教材P38 练习 2.分别求下列两条平行直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【详解】（1）由两平行线之间的距离公式可得. （2）两直线与的方程可化为与， 由两平行线之间的距离公式可得. 教材P38 练习 3. 已知直线 l 过原点，且点 M(5，0) 到直线 l 的距离等于3，求直线 l 的方程. 【解析】点到直线 的距离为5，不合题意，因此直线的斜率存在， 设其方程为，即，则得， 所以直线的方程是． 教材P38 练习 4. 已知 △ABC 的三个顶点为 A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，求 AB 边上高的长. 【解析】直线的斜率为， 直线的方程为， 到直线的距离为. 所以边上的高的长为. 教材P38 练习 点到直线的距离公式的应用 题型一 题型探究 【例1】已知点是轴上的点，且点到直线的距离为6，则点 的 坐标为( ) C A. B. C.或 D.或 解析 设.由点到直线的距离为6， 得，即 ， 解得或.所以点的坐标为或 .故选C. 1.［江苏镇江2025高二期中］已知，为上一动点， 则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 解析 因为， 所以的最小值即为 与点的距离的平方的最小值， 则点到直线上的点的最小值即为点 到直线 的距离，故.又，所以的最小值为 . 故选C. 变式训练 18 2.［河北衡水2025高二月考］若直线与 平行，则两直线间的距离为( ) C A. B. C. D. 解析 因为直线与 平行， 所以，解得或 ， 当时，两直线方程都为 ，此时两直线重合，不符合题意. 当时，直线，直线，即 ， 所以两直线间的距离为 .故选C. 变式训练 19 【例2】 ［辽宁大连二十四中2025高二期中］已知直线 与直线之间的距离为，则 ( ) B A.23 B.23或 C.17 D. 或17 题型探究 两条平行线间的距离公式的应用 题型二 解析 由题意可知，直线，平行， 直线与 之间的距离为， 则，解得或 .故选B. 链接教材 本题是教材第48页复习题第12题的变式，考查两条平行直线间的距离公式， 利用公式 时，一定先将两直线方程化为一般形式， 且两条直线中， 的系数分别相同，才能使用此公式. 20 3.［浙江多校2025高二联考］已知的顶点在直线上运动，点为 ， 点为 . （1）求直线 的方程. 【解】由，得， 由点斜式方程得直线 的方程为，化简得 . （2） 的面积是否为定值？若是，求出该值;若不是，请说明理由. [解析] 的面积为定值. 因为，所以.又点在直线上运动，所以点到直线 的距离为 定值，即为两平行直线间的距离，所以点到直线的距离 ， ，所以 . 变式训练 21 题型探究 易错题 处理距离的综合问题时分类讨论不全致错 【例3】直线过点，过点，若，且与间的距离为5，则与 的方程分别是_____________________________________________________ . ,或, 解析 若直线,的斜率不存在，则的方程为,的方程为 ， 它们之间的距离为5，符合题意. 若直线,的斜率存在，设直线的斜率为，则的方程为 ， 即，的方程为， 即.因为直线与直线 间的距离, 解得，所以的方程为,的方程为 . 综上所述，符合题意的直线方程有两组，, 或 , . 22 4.一直线过点，且点 到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角 为___________. 或 解析 当过点的直线垂直于轴时，点到直线的距离等于4， 此时直线的倾斜角为 .当过点 的直线不垂直于轴时，可设直线的斜率为， 则过点的直线方程为 ，即. 由点到该直线的距离，解得 ，此时直线的倾斜角为 . 综上，该直线的倾斜角为 或 . 易错警示 解决此类问题时，一定要考虑全面，尤其是设直线的方程时，一定要考虑直线斜率 存在和不存在两种情况，不要想当然地认为直线的斜率存在而造成漏解. 变式训练 23 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $$