第1章 1.5.2 第2课时 两平行直线间的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦两平行直线间的距离这一核心知识点，前承两点间距离、点到直线距离公式，通过问题链引导公式推导，结合知识梳理、例题解析（如求距离、参数）及跟踪训练，构建完整学习支架。 资料以问题驱动公式推导培养推理意识，例题融入数形结合发展几何直观，如最值问题结合图形分析。课中助力教师分层教学，课后多样化练习帮助学生巩固，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第2课时　两平行直线间的距离 [学习目标]　1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离． 导语 前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 一、两条平行直线间的距离 问题1　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 知识梳理 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两条平行直线间的距离即为夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，两直线的方程必须是一般式，且必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 例1　(1)分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是__________． 答案　5 解析　两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式， 得AB＝＝. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 二、由平行直线间的距离求参数 例2　已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.若l1∥l2，且它们的距离为，求m，n的值． 解　依题意l1∥l2，则2×4＝1×m⇒m＝8， 此时l2：8x＋4y＋n＝0，即2x＋y＋＝0，故≠2，n≠8. 由于两条直线的距离为，所以＝，即＝5， 解得n＝28或n＝－12. 反思感悟　对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 跟踪训练2　(1)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于(　　) A．－12 B．48 C．36 D．－12或48 答案　D 解析　将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48. (2)(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为(　　) A．9 B．－9 C．11 D．－11 答案　BC 解析　∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，∴＝2，解得c＝11或c＝－9. 三、平行直线间的距离的最值问题 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤AB. 而AB＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 1．知识清单： (1)两条平行直线间的距离． (2)两条平行直线间的距离的最值问题． 2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法． 3．常见误区：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 2．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A. B. C. D．13 答案　B 解析　因为两条直线的方程分别可化为 3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，所以两直线平行， 所以两条直线之间的距离d＝＝. 3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，故d＝＝. 4．两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于(　　) A．0或40 B．10或30 C．－20或10 D．－20或40 答案　B 解析　由题意可得，＝2， 即|20－c|＝10， 解得c＝10或c＝30. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C. D．3 答案　A 解析　l1，l2的距离为d＝＝1. 2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝. 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行， 所以3∶2＝6∶m，所以m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝. 4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合，不符合题意，舍去； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两直线之间的距离为＝. 5．(多选)下列结论错误的是(　　) A．过点A(1,3)，B(－3,1)的直线的倾斜角为 B．若直线2x－3y＋6＝0与直线ax＋y＋2＝0垂直，则a＝ C．直线x＋2y－4＝0与直线2x＋4y＋1＝0之间的距离是 D．已知A(2,3)，B(－1,1)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值是6 答案　AD 解析　对于A，直线AB的斜率k＝＝， 设其倾斜角为θ， 则tan θ＝<， 由于y＝tan x在上单调递增，故θ<， 故倾斜角小于，A错误； 对于B，由直线2x－3y＋6＝0与直线ax＋y＋2＝0垂直，得2a－3＝0， 解得a＝，B正确； 对于C，直线x＋2y－4＝0化为2x＋4y－8＝0， 因此两平行直线的距离d＝＝，C正确； 对于D，点B(－1,1)关于x轴的对称点为B′(－1，－1)， 连接AB′交x轴于点P0，点P是x轴上任意一点， 连接BP0，AP，BP，PB′，如图， 于是PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′＝AP0＋B′P0＝AP0＋BP0， 当且仅当点P与P0重合时取等号， 因此(PA＋PB)min＝AB′＝＝＝5，D错误． 6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 答案　AB 解析　由题意，n≠0，－＝， 所以n＝－4， 所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0， 由两平行直线间的距离公式得＝2， 解得m＝7或m＝－13， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17. 7．(5分)在梯形ABCD中，CD＝2AB＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为__________． 答案　9 解析　直线AB和CD之间的距离d＝＝2， 即梯形的高为 2， 又CD＝2AB＝6， 所以梯形ABCD的面积S＝×(3＋6)×2＝9. 8．(5分)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝________. 答案　11或－15 解析　由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15. 9．(10分)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(5分) (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线方程．(5分) 解　(1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0. 由题意知＝1， 解得m＝3或－7， 所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. (2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于， 即d＝＝， 解得c＝9或c＝－3， 所以所求直线方程为 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 10．(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．(5分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 11．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是3x＋4y－6＝0与3x＋4y＋9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由题意得△ABE∽△CDE，则AE∶EC＝1∶2，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的，又AB和CD所在直线的距离为＝3，则直线l与CD所在直线的距离为2. 12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　ABC 解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为 PQ＝＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]． 13．(5分)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为__________． 答案　1 解析　设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，AB＝，由l1∥l2，得ABmin＝＝1. 14．(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15．(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________． 答案　x＋y－3＝0 解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． 所以AD＝，BC＝b. 梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离， 故h＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3. 所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16．(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．(8分) 解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2的距离d＝＝， ∴＝.∵a>0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝×， 即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝•， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意． 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去． 联立 解得x0＝，y0＝. ∴P即为同时满足三个条件的点． 学科网（北京）股份有限公司 $