第1章 1.5.2 第1课时 点到直线的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦“点到直线的距离”核心知识点，以仓库到铁路距离的实际问题为起点，通过坐标法、面积法推导距离公式，再结合直接计算、距离相等、最值问题等应用，构建“问题引入—公式推导—应用拓展”的完整学习支架。 资料特色鲜明，以现实情境（仓库到铁路）引导学生用数学眼光观察问题，推导过程注重逻辑推理培养数学思维，例题设计代数法与几何法对比，练习题分层适配课中教学与课后巩固，助力学生深化理解并查漏补缺。

1.5.2　点到直线的距离 第1课时　点到直线的距离 [学习目标]　1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 导语 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 一、点到直线的距离公式 问题　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q， ∴PQ＝. 知识梳理 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 例1　(1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为(　　) A. B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　联立解得即A(1,3)， 所以点A到l3的距离d＝＝3. (2)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．－6或1 B．－或1 C．－或 D．－6或 答案　D 解析　方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行． ①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上． ∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6； ②由两直线平行知＝－m，解得m＝. 因此m的值为－6或. 方法二　由题意得＝. 解得m＝－6或m＝. 反思感悟　两点到直线的距离相等，可以用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 跟踪训练1　(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 答案　BC 解析　选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”； 选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”； 选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”； 选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”． 二、点到直线的距离公式的简单应用 例2　求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 反思感悟　(1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 跟踪训练2　已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 答案　C 解析　由点到直线的距离公式得＝＝1，即|a＋1|＝. ∵a>0，∴a＝－1. 三、点到直线距离公式的综合应用 例3　(1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为(　　) A. B．1 C. D．2 答案　A 解析　OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. (2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是________． 答案　－1 解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 跟踪训练3　(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标； (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程． 解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线， 则kOP＝1， 即OP所在的直线方程为y＝x. 由解得 即点P的坐标为(2,2)． (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2， ∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 1．知识清单： (1) 点到直线的距离公式的推导过程． (2) 点到直线的距离公式d＝. (3) 公式的应用． 2．方法归纳：公式法、数形结合． 3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或. 3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　因为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝. 4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为___________________． 答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上，直线l的方程为 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1．(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　) A．3x＋4y－21＝0 B．4x＋3y－21＝0 C．x＝3 D．y＝3 答案　AC 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0. 2．已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　由已知得，＝－a，＝1，∵l1⊥l2， ∴－a×1＝－1， 解得a＝1. 此时直线l1的方程为x＋y－1＝0， ∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝. 3．若原点到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为(　　) A．c2＝a2＋b2 B．a2＝b2＋c2 C．b2＝a2＋c2 D．c＝a＋b 答案　A 解析　原点O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为1， 则＝1，整理得c2＝a2＋b2. 4．点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 答案　A 解析　直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3. 5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 ＝， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或－. 6．(多选)已知平面上一点M(2,1)，若直线上存在点P使PM＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x B．y＝ C．y＝x＋1 D．y＝2x＋1 答案　AB 解析　直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离小于或等于1，否则不是“切割型直线”． 对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为＝1，A正确； 对于B，点M到直线y＝的距离为<1，B正确； 对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为＝>1，C错误； 对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为＝>1，D错误． 7．(5分)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________． 答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线斜率为tan 60°＝， 所以可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5， 得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10. 所以直线方程为 x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 8．(5分)经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 答案　2 解析　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离 d＝＝1， 所以λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以过两直线交点且和原点相距为1的直线的条数为2. 9．(10分)已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0. 设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 则d＝＝. 由两点间距离公式得BC＝＝2，所以S＝BC·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 10．(10分)已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直． (1)求直线l的方程；(4分) (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．(6分) 解　(1)由题意知直线l的斜率为1，则所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2， 解得c＝1或c＝5. 所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3) 答案　AC 解析　设点P的坐标为(a,5－3a)， 由题意得＝， 解得a＝1或2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 12．当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3 B．5,2 C．5,1 D．7,1 答案　C 解析　直线l恒过点A(－3,3)， 根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1. 13．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 答案　C 解析　直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)． 14．(5分)已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 答案　 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝PA. PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 15．(5分)已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为______． 答案　 解析　因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，所以 所以0<a<2， 又a∈Z，所以a＝1， 所以直线l的方程为y＝2x－1， 即2x－y－1＝0， 所以点A(1，－3)到直线l的距离为＝＝. 16．(11分)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；(5分) (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．(6分) 解　(1)当a＝0时，联立 解得 即m与n的交点为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0， 此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0， 此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $