第1章 §1.5 1.5.1 平面上两点间的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及坐标法证明几何问题，以数轴两点距离为起点，通过特殊（与坐标轴平行）到一般（勾股定理推导）构建公式，再结合实例应用公式判断三角形形状、求参数范围，形成完整学习支架。 以公交站点选址问题引入培养数学眼光，公式推导中特殊到一般的逻辑推理发展数学思维，坐标法证明几何问题（如中位线定理）强化数学语言表达。丰富例题与分层练习助教师引导教学，也方便学生课后回顾查漏，提升知识应用能力。

1.5.1　平面上两点间的距离 [学习目标]　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.掌握中点坐标公式.3.会用坐标法证明简单的平面几何问题． 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点之间的距离公式 问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　AB＝|xA－xB|. 问题2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示　(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1P＝P1Q2＋QP， 所以P1P2＝. 知识梳理 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 例1　已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 解　方法一　∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝， kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况用|x2－x1|或|y2－y1|求解． 跟踪训练1　已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2. 二、两点间距离公式的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________． 答案　 解析　设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为. 反思感悟　将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解． 跟踪训练2　在直线2x－3y＋5＝0上存在点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5,5) B．(－1,1) C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1) 答案　C 解析　设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)． 三、坐标法的应用 知识梳理 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 例3　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 反思感悟　(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关的代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 跟踪训练3　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 证明　如图所示，以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－a,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(－b，c)． ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. 1．知识清单： (1)两点间的距离． (2)由两点间距离求参数． (3)坐标法的应用． 2．方法归纳：待定系数法、坐标法． 3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解． 1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1,5 答案　C 解析　由两点间距离公式得＝5.解得a＝1或a＝－5. 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　B 解析　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4. 3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________. 答案　[－2，2] 解析　设P(x，x－m)， 因为PA＝PB， 所以PA2＝3PB2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0， 解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于(　　) A. B. C．3 D．2 答案　D 解析　AC＝4，CB＝2，故＝2. 2．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A．41 B. C. D．39 答案　B 解析　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝＝. 3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得AD＝＝. 4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝. 5．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴AB＝ ＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，AB取得最小值． 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 答案　BCD 解析　＝ ＝＝， 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确． 7．(5分)过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________. 答案　 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝. 8．(5分)若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________． 答案　 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝ ＝， ∴最小值为＝. 9．(10分)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 解　由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2. 10．(12分)用坐标法证明：若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 证明　如图， 在△ABC中，D为边BC的中点，DA＝DB＝DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a,0)，C(b，c)， 则D， 因为DB＝DA， 所以＝，即ab＝0， 因为a≠0，所以b＝0， 所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 11．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D. 答案　B 解析　S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内求一点，使它到三角形各个顶点的距离之和最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，点P到△ABC三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且|b|＝2，|c|＝3，则|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值是(　　) A．3－ B．3＋2 C．2－2 D．2＋2 答案　B 解析　设a＝(x，y)，b＝(2,0)，c＝(0,3)， 则|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|＝＋＋， 即为点P(x，y)到点A(2,0)，B(－2,0)和C(0,3)三个点的距离之和， 易知△ABC为等腰三角形，且三个内角均小于120°，如图， 由费马点的性质可得，当点P在y轴上且∠APB＝120°时，P到三个顶点的距离之和最小， 则∠APO＝60°， 因为OA＝OB＝2，则OP＝，所以点P坐标为时，距离之和最小， 最小距离之和为＋＋＝3＋2. 故|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值为3＋2. 13．(5分)已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________． 答案　 解析　由两点间距离公式得AB＝， BC＝， AC＝. ∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D为BC的中点， 由中点坐标公式易得D， ∴AD＝＝. 14．(5分)在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________. 答案　10 解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)， 所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2， PC2＝a2＋b2， 于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2， 即＝10. 15．在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10 B.＋ C．14 D.＋ 答案　D 解析　依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD， 因为PA＋PC≥AC， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为PB＋PD≥BD， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD ＝＋ ＝＋， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号． 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋. 16．(12分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a,0)， 依题意得A(－a,0)． AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 学科网（北京）股份有限公司 $