第1章 §1.4 两条直线的交点（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦两条直线交点坐标的求解及位置关系判定，前承直线的二元一次方程表示，后启距离等定量研究。通过问题引入、表格梳理方程组解与位置关系的联系，结合例题、跟踪训练构建学习支架，逐步深化理解。 特色在于问题驱动与逻辑建构结合，以“用数学的眼光观察”从几何定性到代数定量，通过方程组求解与参数讨论培养“数学思维”，直线系方程应用体现“数学语言”表达。例1辨析位置关系，例2用直线系简化运算，课中助教师引导探究，课后学生可回顾练习查漏补缺。

[学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 导语 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、判断直线的交点及由交点求参数 问题　点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？ 提示　在，点A是直线l1与l2的交点． 知识梳理 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 注意点： (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1与l2相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0. (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 例1　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2) D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 答案　AD 解析　方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确． (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 答案　A 解析　联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 延伸探究　若将本例(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值． 解　解方程组得所以这两条直线的交点坐标为(4，－2). 由题意知点(4，－2)在直线mx＋2y＋7＝0上， 将(4，－2)代入，得4m＋2×(－2)＋7＝0， 解得m＝－. 反思感悟　判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，操作方法有加减消元和代入消元两种． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 跟踪训练1　(1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由得 所以交点为. (2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－ B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 答案　C 解析　方法一　由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2. 方法二　由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由得 又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2. 二、过两直线交点的直线系方程 知识梳理 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 例2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解　方法一　解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 延伸探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 跟踪训练2　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解　由方程组解得 即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 1．知识清单： (1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)直线系过定点问题． 2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊． 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9,10) C．(9,10) D．(9，－10) 答案　B 解析　解方程组得 故两条直线的交点坐标为(－9,10)． 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得 ∴直线l恒过定点(－3,1)． 3．若关于x的二元一次方程组有无穷多组解，则m＝________. 答案　－2 解析　二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由4×1＝m·m，解得m＝2或m＝－2.经检验，m的值为－2. 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________. 答案　－ 解析　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 答案　B 解析　解方程组得 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 答案　B 解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．24 答案　C 解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. 4．△ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于(　　) A. B．1＋ C．1＋ D．2－ 答案　A 解析　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得 因为S△ABC＝，所以×a×＝，得a＝或a＝－(舍去)． 5．过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x＋2y－7＝0 D．x－2y＋5＝0 答案　A 解析　由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0， 即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0， 又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行， 所以＝≠， 解得λ＝7， 所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，即2x＋y－5＝0. 6．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} 答案　C 解析　由题意可知k≠－1， 联立解得x＝，y＝， ∴两直线的交点坐标为. ∵两直线的交点在第一象限， ∴解得k>. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>， ∴30°<θ<90°. 7．(5分)直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________． 答案　9 解析　联立解得 所以直线l1与直线l2的交点坐标为(－2,6)． 令x＝0，则直线l1与y轴的交点坐标为(0,12)， 直线l2与y轴的交点坐标为(0,3)． 则三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)， 故所求三角形的面积为×9×2＝9. 8．(5分)已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______. 答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线ax＋2y－1＝0上， 所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 9．(10分)求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 解　由方程组解得 所以直线l1和l2的交点坐标为. 又因为所求直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝×， 即27x＋54y＋37＝0. 10．(12分)若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围． 解　联立两直线的方程 解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴解得 即－<k<－. 则k的取值范围为. 11．已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，令解得所以该直线必过定点. 12．经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，并且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为(　　) A．2x＋3y－7＝0 B．2x＋3y＋1＝0 C．3x－2y－8＝0 D．3x－2y－4＝0 答案　A 解析　联立得所以两直线交点坐标为(2,1)， 所求直线方程为y－1＝－(x－2)，整理得2x＋3y－7＝0. 13．(5分)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________． 答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝. 由＝，得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 14．(5分)已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为____________． 答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时， a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 15．(多选)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为(　　) A．1 B. C．－2 D．－1 答案　BCD 解析　由直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，可得 ①若l1∥l3，则＝3，即a＝； ②若l2∥l3，则＝－，即a＝－2； ③若三直线经过同一个点，则直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点(1,2)在l3：x－ay－3＝0上， 即1－2a－3＝0，解得a＝－1. 综上，a的值可能为，－2，－1. 16．(12分)如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $